Distribuciones de Probabilidad Discretas. comportamiento de una variable aleatoria

Distribuciones de Probabilidad Discretas

La distribución de probabilidad discreta describe el comportamiento de una variable aleatoria, independientemente de si se representa de forma gráfica o mediante un histograma, en forma tabular o con una formula. A menudo las observaciones que se generan mediante diferentes experimentos estadísticos tienen el mismo tipo general de comportamiento. En consecuencia, las variables aleatorias discretas asociadas con estos experimentos se pueden describir esencialmente con la misma distribución de probabilidad y, por lo tanto, es posible representarlas usando una sola formula. De hecho, se necesitan solo unas cuantas distribuciones de probabilidad importantes para describir muchas de las variables aleatorias discretas que se encuentran en la práctica.

Este conjunto de distribuciones en realidad describe varios fenómenos aleatorios de la vida real. Por ejemplo, en un estudio en el que se probó la eficacia de un nuevo fármaco, de todos los pacientes que lo utilizaron, el número de pacientes que se curaron se aproximó a una distribución binomial. En un ejemplo en una industria, cuando se prueba una muestra de artículos seleccionados de un lote de producción, el número de productos defectuosos en la muestra por lo general se puede representar como una variable aleatoria hipergeometrica. En un problema estadístico de control de calidad el experimentador señalará un cambio en la media del proceso cuando los datos observacionales excedan ciertos límites. El número de muestras requeridas para generar una falsa alarma sigue una distribución geométrica, que es un caso especial de distribución binomial negativa. Por otro lado, el número de leucocitos de una cantidad fi ja de una muestra de la sangre de un individuo suele ser aleatorio y podría describirse mediante una distribución de Poisson.

Tales tipos de ejemplos son tan sólo pocos de la gran cantidad de las llamadas distribuciones estándar que se utilizan ampliamente en situaciones del mundo real porque el escenario científico que da lugar a cada uno de ellos es reconocible y a menudo se presenta en la práctica.

Distribución Binomial:

Cuando observaciones repetidas independientes son binarias por naturaleza (es decir, defectuoso o no, funciona o no, alérgico o no) con un valor de 0 o 1, la distribución que cubre esta situación se llama distribución binomial.

Con frecuencia un experimento consta de pruebas repetidas, cada una con dos resultados posibles que se pueden denominar éxito o fracaso. La aplicación más evidente tiene que ver con la prueba de artículos a medida que salen de una línea de ensamble, donde cada prueba puede indicar si un artículo está o no defectuoso. Podemos elegir definir cualquiera de los resultados como éxito. El proceso se conoce como proceso de Bernoulli y cada ensayo se denomina experimento de Bernoulli.

El Proceso de Bernoulli

En términos estrictos el proceso de Bernoulli se caracteriza por lo siguiente:

1. El experimento consta de ensayos repetidos.
2. Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar como éxito o fracaso.
3. La probabilidad de un éxito, que se denota con p, permanece constante de un ensayo a otro.
4. Los ensayos repetidos son independientes.

Distribución Binomial

El número X de éxitos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se llama distribución binomial y sus valores se denotaran como b(x; n, p), ya que dependen del número de ensayos y de la probabilidad de éxito en un ensayo dado.

Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 – p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n ensayos independientes, es:

[pic 1]

La distribución binomial deriva su nombre del hecho de que los n + 1 términos en la expansión binomial de[pic 2]corresponden a los diversos valores de b(x; n, p) para x = 0, 1, 2, ... , n. Es decir,

[pic 3]

Dado que p + q = 1, vemos que

[pic 4]

una condición que se debe cumplir para cualquier distribucion de probabilidad.

Áreas de aplicación: Un ingeniero industrial está muy interesado en “la proporción de artículos defectuosos” en cierto proceso industrial. A menudo las medidas de control de calidad y los esquemas de muestreo para procesos se basan en la distribución binomial, la cual se aplica en cualquier situación industrial donde el resultado de un proceso es dicotómico y los resultados del proceso son independientes, y además la probabilidad de éxito se mantiene constante de una prueba a otra. La distribución binomial también se utiliza mucho en aplicaciones médicas y militares. En ambos casos un resultado de éxito o de fracaso es importante.

Como la distribución de probabilidad de cualquier variable aleatoria binomial depende solo de los valores que toman los parámetros n, p y q, parecería razonable suponer que la media y la varianza de una variable aleatoria binomial también dependen de los valores que toman tales parámetros.

[pic 5]

1. Distribución Multinomial

El experimento binomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene más de dos resultados posibles. La clasificación de un producto fabricado como ligero, pesado o aceptable, y el registro de los accidentes en cierto crucero de acuerdo con el día de la semana, constituyen experimentos multinomiales.

En general, si un ensayo dado puede tener como consecuencia cualquiera de los k resultados posibles El, E2, ..., Ek con probabilidades pl, p2, ... , pk, la distribución multinomial dará la probabilidad de que El ocurra xl veces, E2 ocurra x2 veces... y Ek ocurra xk veces en n ensayos independientes, donde:

x 1 +x 2 +・ ・ ・ +x k = n.

Denotaremos esta distribución de probabilidad conjunta como

f (x 1 , x 2, . . . , x k ; p1 , p2, . . . , pk , n).

Salta a la vista que pl + p2 + ・・・ + pk = 1, pues el resultado de cada ensayo debe ser uno de los k resultados posibles.

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