Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas

UNIDAD 3

  Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas

Introducción. Variables aleatorias.

Los experimentos ocurren de manera que los resultados en el espacio muestral pueden ser  cuantitativos o cualitativos.

El lanzamiento de una moneda resulta en “águila” o “sol”, escoger un producto elaborado en una fábrica y que puede ser “defectuoso” o “no defectuoso” son ejemplos de resultados cualitativos.

Muchas veces es útil la cuantificación de los resultados cualitativos de un espacio muestral y, mediante el empleo de medidas numéricas, estudiar su comportamiento aleatorio. Lo anterior es posible aplicando el concepto de variable aleatoria, ya que este proporciona un medio para relacionar cualquier resultado con una medida cuantitativa.

El espacio muestral que se obtiene al lanzar una moneda tres veces es:

 S = { sss,    ssa,    sas,    saa,   ass,     asa,    aas,   aaa         }

Podemos cuantificar los resultados de diversas formas, según se dé la relación para cuantificar las observaciones cualitativas, por ejemplo, se puede considerar:

a)   el número de soles que aparecen,

b)   la hilera más grande de águilas que salen,

Para el primer inciso, los  resultados quedan cuantificados como:

                        S = { sss,    ssa,    sas,    saa,   ass,     asa,    aas,   aaa }

[pic 1]

Para el segundo inciso, queda:

S = { sss,    ssa,    sas,    saa,   ass,     asa,    aas,   aaa }

                                [pic 2]

Los valores 0,1,2 y 3 son observaciones aleatorias determinadas por el resultado del experimento. Pueden considerarse como los valores tomados por alguna Variable Aleatoria X, la cual en el ejemplo (inciso a) que resolvimos representa el número de soles que aparecen cuando lanzamos una moneda tres veces.

Definición.- la función cuyo valor es un número real determinado por cada elemento en el espacio muestral, se llama VARIABLE ALEATORIA .

Con letras mayúsculas denotamos las variables aleatorias V,W,X,Y,Z  y con letras minúsculas algún valor que tome la variable v,w,x,y,z.

Cada valor posible de X representa un evento, que como ya sabemos es un subconjunto del espacio muestral. De nuestro ejemplo, cuando X = 2  el evento que le corresponde  es

E = {         ass, sas, ssa  } y su probabilidad es P(E) = 3/8

Se definen dos tipos de variables aleatorias:

1. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
2. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

En problemas prácticos las variables aleatorias discretas  representan datos contados. Por ejemplo el número de artículos defectuosos en una muestra de k piezas, el número de clientes que requiere de un servicio, el número de accidentes en un cruce de tránsito, etc.

Las variables aleatorias continuas representan datos medidos tales como alturas, pesos, temperaturas, períodos posibles de vida, distancias etc.

Notación a utilizar:                   f(x) = P(X = x)

Así, para el ejemplo del evento: E = {ass, sas, ssa} tenemos: f(2) = P( X = 2 )  =  3/8

DEFINICIÓN.  La función f(x) es una función de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria X si, para cada x resultado posible se cumple con:

1. f(x)  ≥  0

2)  f(x)  =  1                                                                     (1)

        3) P( X = x) = f(x)                                        

DEFINICIONES.

1. Valor esperado, media o esperanza matemática de la variable aleatoria discreta X.

                                        (2)[pic 3]

2) Varianza de X

                         (3)[pic 4]

3) Desviación Estándar de X.    

                                                (4)[pic 5]

Ejemplo:

Encuentra la distribución de probabilidad (tabla de probabilidades) de la variable aleatoria discreta definida como el número de artículos defectuosos que se observan cuando se toman tres artículos de una caja que contiene en total 6 de los cuales 2 presentan defectos. También calcula E(X) y σx 

En este tipo de problemas a resolver, iniciar siempre anotando lo que representa la variable aleatoria X.

X = es el número de artículos defectuosos observados en el procedimiento.

Analiza, el por qué, la selección de los tres artículos es sin reemplazo.

Se tienen las siguientes opciones:

Dibujamos la distribución de probabilidad (Tabla de probabilidades)

Calculamos las probabilidades, usando la notación anteriormente descrita.

N(S)= 6C3 = 20

f(0) = P( X = 0 )  = {BBB} = 4C3/6C3 = 4/20

f(1) = P( X = 1 )  = {BBD} = 4C2*2C1/6C3 = 6*2/20 = 12/20

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