DISTRIBUCIÓN CONTINUAS 4.1 DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CONTUNUA.

DISTRIBUCIÓN CONTINUAS

4.1 DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CONTUNUA.

Si los datos representan mediciones de una variable aleatoria continua y si su cantidad de datos es muy grande, podemos reducir la anchura de los intervalos de clase hasta que la distribución se vea como una curva continua. Una función de densidad de probabilidad, es un modelo teórico para esta distribución.

Si f(y) es la función de distribución acumulativa para una variable aleatoria continua y entonces la función de densidad f(y) para y es.

La función de densidad para una variable aleatoria continua y que modela alguna población de datos de la vida real, por lo regular es una curva continua.

Entonces, el área acumulativa bajo la curva entre -y un punto y0 es igual a f(y0).

-+La función de la densidad para una variable aleatoria continua siempre debe satisfacer las tres propiedades que se indican en siguiente.

Propiedad

1.-

2.-

3.- , donde a y b son constantes.

4.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD Y ACUMULATIVA.

Si los datos representan mediciones de una variable aleatoria continua y si la cantidad de datos es muy grande, podemos reducir la anchura de los intervalos de una clase hasta que la distribución se vea como una curva continua. Una función de densidad de probabilidad es un modelo teórico para esta distribución.

Si f(y) es la función de distribución acumulativa para una variable aleatoria continua y, entonces la función de densidad f(y) para y es.

La función de densidad para una variable aleatoria continúa y que modela alguna población de datos de la vida real, por lo regular es una curva.

EJEMPLO:

La función de densidad de probabilidad de probabilidad del tiempo de falla ( en horas) de un componente electrónico de una copiadora.

Para x>0

Calcule la probabilidad de que:

El componente tarde más de 3 mil horas en fallar.

El componente falle en el lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas.

El componente falle antes de 1000 horas.

Calcule el de horas en las que fallaron el 10% de todos los componentes.

a)

p(x>3000)= 1- p (0<x<3000)

b)

c)

d)

EJERCICIO:

La función de densidad de probabilidad de peso neto en libras de un paquete de herbicida químico es igual a f(x)=2 para 49.75<x<50.25 libras.

calcule la probabilidad de que un paquete pese más de 50 libras.

Cuanto herbicida estará contenido en el 90% de los paquetes.

a) p(x>50)

b)

Ejercicio 2

Supóngase que f(x)=e-x para 0<x. Determine las siguientes probabilidades.

a) p (1<x)

b)

c)

d)

e)

Ejercicio 3

Suponga que f(x) para 4<x

p(1<x)= no aplicable

no aplicable

p(4<x)=1

e)

4.3 VALOR ESPERADO, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

La media y la varianza de una variable aleatoria continua se define de la manera similar al caso de la variable aleatoria discreta. En las definiciones la integración remplaza a la sumatoria.

Supóngale que X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad fx (x),-<x<.

La media de x, denotada por E (x) o x es

La varianza de X, denotada por V(X) o 2x, es

Así mismo la desviación estándar de X es

EJEMPLO:

Con la siguiente función f(x) =0.125x para 0<x<4, calcular la media, la varianza y la desviación estándar.

Valor esperado:

Varianza:

Desviación estándar:

4.4 DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA.

La distribución continua más sencilla es análoga a su contraparte discreta, una variable aleatoria continua X con función de probabilidad.

Tiene una distribución uniforme continua.

Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria uniforme continua.

La media de la variable aleatoria uniforme continua X es:

La varianza de X es

Estos datos pueden resumirse de la siguiente manera.

La media y la varianza aleatoria uniforme continúa X sobre a  x  b están dadas por:

y

EJEMPLO:

Suponga que X tiene una distribución uniforme continua en el intervalo

[1.5, 5.5].

a) Calcule la media, la varianza y la desviación estancar de X.

b) Cual es la probabilidad de p(x<2.5).

a)

b)

EJEMPLO 2:

Suponga que X tiene una distribución uniforme continua en el intervalo [-1, 1]

Obtenga la media la varianza y la desviación estándar.

Calcule el valor de X talque p(-x < X < x)=0.90

a)

b) p(-x< X <x)=0.90

EJEMPLO 3:

La variable X se desarrolla en el intervalo [2 , 8].

Obtenga la media de la distribución.

Calcule la probabilidad p(x<X<x)=0.85

Calcule la probabilidad de p(x<X)=0.70

a)

b)

c)

4.5 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.

La familia de las distribuciones exponenciales proporciona modelos de probabilidad que son ampliamente utilizados en ingeniería y ciencias.

Se dice que X tiene una distribución exponencial si la pdf de X es de otra manera donde >0

La pdf exponencial es un caso especial, de gamma general, en la que =1 y  ha sido sustituida por 1/, [algunos autores emplean la forma (1/)e-x/]. La media y la varianza de X entonces son:

Tanto la media como la desviación estándar de la distribución exponencial son iguales a 1/. Las gráficas de las variables pdf exponenciales aparecen en la figura siguiente.

La diferencia de pdf gamma general, la pdf exponencial se pueden integrar fácilmente. En particular, la pdf de X es

EJEMPLO.

Sea X el tiempo en horas de un sistema de cajeros de atención a usuarios. La atención puede modelarse como un proceso de Poisson por una media de 25 accesos por hora ¿cuál es la probabilidad de que no halla acceso en un intervalo de 6 minutos?

=25 usuarios / hora

=2.5 usuarios / 6 minutos

P(x0.1)=

4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA (ERLANG)

Aumenta la distribución ya que se puede utilizar para resolver muchos problemas en ingeniería y en la ciencia, hay aun numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad. Dos de estas funciones de densidad, las distribuciones gamma y exponencial, se estudian en esta sección.

Resulta que la distribución exponencial es una cosa especial de la distribución gamma. Ambas encuentran un gran número de aplicaciones .Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante en teoría de colas y problemas de confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y tiempo de falla de partes componentes y sistemas eléctricos, a menudo quedan bien moldeadas mediante la distribución exponencial. La realidad entre la gamma y la exponencial permite que la gamma se involucre en tiempos de problemas similares.

La distribución gamma, deriva su nombre de la bien conocida función gamma, que se estudia en muchas áreas de las matemáticas. Antes de que procedemos con la distribución gamma, revisemos esta función y algunas de sus propiedades importantes.

La función gamma se define como:

Al integrar la formula u=xa-1 y du=e-x dx obtenemos

Para a>1, que produce la formula recursiva

La aplicación repetida de la fórmula de recursividad da

Y así sucesivamente. Nótese que cuando a=n,donde n es un entero positivo

Sin embargo por la definición

Y de aquí

Una propiedad importante de la fusión

...