TALLER DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

1. Una compañía de luz paga a los usuarios una bonificación por cortes de luz que se produzca durante el bimestre. Dicha bonificación es de $1 si la duración del corte es menos de una hora y $3 si la duración del corte es superior a 3 horas. La bonificación es de $0.5 por hora de corte más un peso si la duración del corte está entre 1 y 3 horas. La duración (en horas) del corte de luz es una variable aleatoria, X, cuya función de densidad es:

[pic 2] 

1. Si la bonificación es una función de la duración, determine el valor esperado a pagar a los usuarios durante un bimestre. Adicionalmente encuentre el coeficiente de variación de lo pagado a los usuarios bimestralmente.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un corte de luz dure más de una hora si se sabe que por él la compañía hace una bonificación de menos de $2?

1. La duración de una llamada telefónica local (en minutos) se caracteriza por la función de distribución (FX(x)=P(X≤ x))

[pic 3]

1. Determine la función de densidad.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una llamada este entre 3 y 6 minutos?

Sí una llamada ha durado 3 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que no pase de los 6 minutos

1. Un interruptor eléctrico tiene vida útil según la distribución exponencial, y dura en promedio 2.5 años.

¿Cuál es la probabilidad de que fallen al menos 30 interruptores en el primer año, si se instalan en diferentes sistemas: a. 50 interruptores? b. 100 interruptores? c. 150 interruptores?

1. Diez directivos de Microsoft viven a la misma distancia del edificio de la empresa. El tiempo en minutos que cualquiera de ellos necesita para llegar al trabajo puede modelarse como una distribución normal de media μ = 50 y desviación típica σ = 15.

Una mañana los 10 directivos salen a las 8:00 de sus domicilios.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 directivos lleguen al trabajo en menos de una hora?
2. ¿Cuántos habrán llegado antes de las 9:30?
3. A las 9:15 está programada una reunión de estos 10 directivos para tomar cierta decisión. Para ello es necesario que al menos 8 de ellos acuda puntualmente a la reunión, de lo contrario la reunión se aplazaría a otro día. ¿Cuál es la probabilidad de que dicha reunión pueda hacerse?

1. Cierta aleación se forma al combinar la mezcla fundida de dos metales. Su resultado contiene cierto porcentaje de plomo (X), el cual se comporta en forma aleatoria con función de densidad:

                              gX (x)  = K * (1  -  x2)        0  •  x  •  1

1. ¿Para qué valor de K, gX (x) es función de densidad?
2. Obtenga FX (x).
3. Sí el precio de venta del compuesto, V, depende del contenido de plomo y se vende según la función:

        [pic 4]

        Calcular el valor esperado de V, y su dispersión.

1. General Equipement Manufacturing asume que algunas de sus laminadoras están produciendo láminas de aluminio de varios gruesos.  La máquina por lo general produce láminas de entre 7 y 15 milímetros de grueso.  Se sabe que esta variable aleatoria tiene una distribución uniforme.  Las láminas de menos de 10 milímetros de grueso no son aceptables para los compradores y se desperdician.

1. Encuentre el grosor promedio de las láminas de aluminio que produce esta máquina.
2. ¿Cuál es la variación estándar en el grosor de las láminas que produce esta máquina?
3. Obtenga la probabilidad de que una lámina producida por esta máquina tenga que desperdiciarse.

1. Un distribuidor mayorista de gasolina dispone de tanques de almacenamiento que contiene una cantidad fija de gasolina y que se llenan cada lunes.  La proporción de esta reserva que se vende durante la semana es de sumo interés para el distribuidor, mediante observaciones durante muchas semanas encontró que podría representar el modelo de esta proporción mediante la función de densidad (llamado modelo BETA):

[pic 5] 

con α=4  y β=2.

1. Encuentre la probabilidad de que el mayorista venda al menos 90% de su reserva durante una semana dada.
2. Determine la media, la mediana, la varianza de la variable aleatoria. Interprete.
3. Debe garantizar su abastecimiento en el momento de tener no menos del 5% de su reserva, ¿Con que probabilidad pondrá en peligro su negocio?

1. Los tiempos de respuesta en una terminal en línea para cierta computadora, tienen aproximadamente una distribución gamma, con media de 4 segundos, y varianza de 8.

1. Obtenga la función de densidad de probabilidad para los tiempos de respuesta.

La función de densidad de una variable aleatoria Gamma corresponde a:

[pic 6]

1. Determine: P(µ-0.75σ < X < µ-1.5σ)
2. Si α = 1, como se denomina la distribución de X.
3. Interprete µ, Me, P30, y  σ.

1. Suponga X, la resistencia a la ruptura de una cuerda (en libras) es una variable aleatoria con distribución normal de parámetros (40, 36). El fabricante tendrá utilidad neta así:

           T(X) =  [pic 7]

1. Halle el valor esperado de la utilidad y su desviación estándar.
2. ¿Cuáles son los valores de la utilidad que corresponden a la mediana y al percentil 75?

1. Se especifica que el diámetro exterior de un elemento debe ser de 4 pulgadas. Suponga normalidad del diámetro con parámetros 4 y 0.81 pulgadas; si el diámetro real se diferencia del valor especificado por más de 0,05 pulgadas, pero con menos de 0.08, la pérdida del fabricante es de US $50; si el diámetro se diferencia en más de 0.08 pulgadas del real, la perdida es de US $100. La pieza es vendida en US $300. Considere la perdida como una variable aleatoria, encuentre:

1. su valor esperado, y su desviación estándar.
2. El percentil 10, 50, y el 90 de la pérdida.
3. Los valores de la pérdida que corresponden al intervalo generado por:[pic 8]

1. Considere un sistema con tres componentes en paralelo, cada una de ellos con una “vida útil” con distribución exponencial de valor esperado 90, 100 y 110 horas respectivamente. ¿Cuál es la fiabilidad del sistema durante 100 horas?
2. Sea un sistema, en paralelo, formado por 6 unidades de bombeo en el que es necesario que al menos 4 de ellas funcionen. Cada bomba tiene una duración con distribución exponencial dada por  para el periodo que dura cierta misión. [pic 9]

1. ¿Cuál es la función de confiabilidad del sistema durante esa misión?
2. Determine el valor de la confiabilidad del sistema considerando para cada componente 800 horas.
3. Considere ahora la duración como una variable aleatoria con distribución normal y use los parámetros del caso exponencial, determine la confiabilidad como en los casos a., y b.

1. Suponga que, en la siguiente figura de un sistema conformado por cinco elementos, los elementos que están identificados con números impares tienen duraciones (en horas) con distribución probabilística exponencial, en promedio un componente de estos es de 2000 horas; los elementos identificados con números pares tienen distribución probabilística normal con parámetros media igual a 2500 horas y desviación estándar de 30 horas. Determine la confiabilidad del sistema para cuando se requieren 500 horas.

[pic 10]

1. Leer en la Revista NOOS | Volumen 2 (2013) Pág.1 –10. Facultad de Ciencias

Exactas y Naturales. HISTORIA DE LA PROBABILIDAD. Julio Fernando Suárez Cifuentes. http://revnoos.manizales.unal.edu.co

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