VARIABLE ALEATORIA

TEMA 3

VARIABLE ALEATORIA

                        3.1. Concepto

                        3.2. Funciones de distribución

                        3.3. Parámetros de Centralización y de

                                Dispersión

                        3.4. Función generatriz de momentos

OBJETIVOS

• Conceptualizar lo que representa el término variable aleatoria y analizar su complemento en la distribución de probabilidades.
• Utilizar funciones representativas que nos permitan determinar parámetros estadísticos más usuales y su comportamiento desde el punto de vista de las probabilidades.

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3.1. Concepto.- En los capítulos anteriores se dieron conceptos y propiedades de las probabilidades, a manera de un análisis general. Aunque, aun se requiere ampliar dichos conceptos mediante modelos probabilísticos que nos permitan determinar otras medidas o parámetros más característicos.

Una variable cuyos valores numéricos quedan determinados por los resultados de un experimento aleatorio, se denomina variable aleatoria. Dicho de otro modo, es la asignación numérica a cualquier resultado o elemento del espacio muestral.

Es la imagen de una función que asigna a cada evento o suceso, un determinado valor o número real determinados bajo criterios relacionados con la probabilidad. Es una cantidad equivalente al resultado de un experimento, y debido al azar puede tener diferentes valores.

Las variables aleatorias se expresan por las últimas letras del abecedario (x, y, z,…).

Las variables aleatorias permiten especificar aún más lo que se pretende analizar en cualquier fenómeno relacionado al azar. En la mayoría de los casos se utilizará su abreviatura (al igual que en cualquier bibliografía) que es igual a: v.a.

Para una v.a. será preciso determinar su rango de valores (R), y luego poder predefinirlos en una función representativa que permita un cálculo más directo de las probabilidades.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.

Una variable aleatoria discreta es aquella que toma valores claramente identificados y separados, siendo su rango un conjunto finito o infinito numerable de valores. Una variable aleatoria continua es aquella que su rango es un intervalo dentro de los números reales, siendo un conjunto infinito no numerable de valores.

Ejemplos:

v.a. discreta: número de empleados varones en una empresa   Rx ={1, 2, 3, 4, …..}

                   Al lanzar un dado v.a. números pares    Rx = {2, 4, 6}

v.a. continua: Sueldos y salarios     Rx = {2000 < x < 5000}

                Tiempo de entrega del delivery    Rx ={10 < x < 30}

                Vida útil de un artefacto:    Rx ={0 < x < +ꝏ}

3.2. Funciones de distribución.- (Funciones de probabilidad)  Para cualquier v.a. se puede obtener su probabilidad inducida mediante una representación denominada función de distribución, que nos permite calcular de manera más directa el valor de P. Son modelos matemáticos o funciones.

3.2.1. Función de cuantía.- Es característico para v.a. discretas, que asigna la probabilidad  para cada valor xi. Se expresa de la forma: P(X = xi). Donde X = v.a. propiamente (definida) y xi son los probables valores de la v.a.

Debe cumplir las siguientes condiciones:

        1) P(X = xi) > 0

        2) ∑ P(X = xi) = 1

Ejemplo: Sea el ejemplo del lanzamiento de 3 monedas, con la v.a. número de sellos

                        x = v.a. número de sellos        2*2*2=8        

 El espacio muestral es:

        η = {(C;C,C); (C,C,S); (S,C,C); (C,S,C); (C,S,S); (S,C,S); (S,S,C); (S,S,S)}

                       0 sellos            1 sello                            2 sellos                  3 sellos

Para su rango:

                             Rx ={0, 1, 2, 3}

P(X = 0) = [pic 1]           P(X = 1) = [pic 2]           P(X = 2) = [pic 3]                P(X = 3) = [pic 4]                 

Para la función de cuantía:

P(X = x) = [pic 5] 

Si: X = 0, 3         n = 1

Si: X = 1, 2          n = 3

De otra forma:

P(X = x) = [pic 6] 

Por ejemplo:

P(X = 1) = [pic 7] 

Ejemplo: Se pretende formar una comisión de 2 personas de un grupo de 10 donde 6 son damas. Determinar la función de cuantía de la v.a. número de varones que tiene la comisión.

Solución

El número total de formas que se puede conformar la comisión:

[pic 8]

Para el número de varones en la comisión (x):

[pic 9]

La función de cuantía será:

[pic 10]

Verificando las condiciones:

1) P(X = xi) > 0

2) ∑ P(X = xi) = 1       Rx ={0, 1, 2}

                        ∑ P(X = xi) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

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