Variable Aleatoria

Introducción

En la industria la calidad final que se obtiene en un proceso depende de muchos factores: experiencia de los operarios, calidad de las materias primas, estado de las herramientas, etc. Algunos de estos parámetros se conocen de forma exacta (variables asignables), mientras que otros se sabe que siguen una tendencia (variables aleatorias). La estadística nos proporciona una herramienta muy interesante para poder trabajar con estos casos en los que se conoce sólo el comportamiento pero no el valor preciso: la variable aleatoria.

Variable aleatoria es una función que asocia un número a cada suceso elemental de un espacio muestral.

Supongamos que hacemos un histogramas de frecuencias relativas de la intensidad de disparo de un interruptor automático. El histograma tendrá la forma de la figura izquierda de debajo. A medida que los intervalos se van haciendo más pequeños, la línea poligonal de frecuencias relativas tiende hacia una línea curva. Esta curva es la gráfica de una función f(x) llamada función de densidad, figura debajo derecha, que está asociada a una distribución de probabilidades de una variable aleatoria continua.

Variable aleatoria

Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma). Una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio.

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.

Función de la probabilidad

La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada función de distribución de X es la función , que asigna a cada evento definido sobre una probabilidad dada por la siguiente expresión:Y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:

y

Es continua por la derecha.

Es monótona no decreciente.

La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.

Función de densidad de probabilidad

Diagrama de Caja y función de densidad de probabilidad de una distribución normal N(0, σ2).

En la teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.

La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.

La función de densidad de probabilidad (FDP o PDF en inglés) es no-negativa a lo largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valor unitario.

Función de distribución

Función de Distribución Acumulativa para la distribución normal en la siguiente imagen.

Función de Densidad de Probabilidad para varias distribuciones normales. El trazo rojo distingue la distribución normal estándar.

En la teoría de la probabilidad y en estadística, una función de distribución acumulada (fda) describe la probabilidad de que unavariable aleatoria real X sujeta a cierta ley de distribución de probabilidad, se sitúe en la zona de valores menores o iguales a x.

Intuitivamente, asumiendo la función f como la ley de distribución de probabilidad, la fda sería la función con la recta real como dominio, con imagen del área hasta aquí de la función f, siendo aquí el valor x para la variable aleatoria real X.

La fda asocia a cada valor x, la probabilidad del evento: "la variable X toma valores menores o iguales a x".

Las Funciones de Distribución Acumulativa se emplean también para especificar la distribución de variables aleatorias multivariantes.

Esperanza matemática

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombre de esperanza matemática yvalor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

Ejemplos

Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

E(x) = 5000 • 0.001 + 2000 • 0.003 = 11 €

Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

E(x)= 1 • 2/4 + 2 • 1/4 - 5 • 1/4 = −1/4. Es desfavorable

Propiedades[editar]

la esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir, si c es una constante, entoncesPlantilla:Nowraper.

Linealidad[editar]

La esperanza es un operador lineal, ya que:

(*)

por ende:

donde e son variables aleatorias y y son dos constantes cualesquiera.

Nótese que (*) es válido incluso si X no es independiente de Y.

Varianza

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En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como ) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

Está medida en unidades distintas

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