Variable Aleatoria

TEMA 6: VARIABLE ALEATORIA

1. VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL.

En el capitulo anterior hemos desarrollado los conceptos básicos de probabilidad sobre los resultados o sucesos de un experimento aleatorio. Pero los experimentos aleatorios son tales que los resultados a que dan lugar pueden ser de naturaleza cualitativa o cuantitativa. Así por ejemplo, serían resultados cualitativos los derivados de los siguientes experimentos aleatorios.

• El lanzamiento de una moneda: cara o cruz.

• La calidad de las piezas fabricadas en una planta: buenas o defectuosas.

• La preferencia de una persona sobre tres tipos de coches: prefiere el coche A, el coche B, o el coche C, etc.

Otros ejemplos de experimentos aleatorios cuyos resultados son cuantitativos serían:

• El número de accidentes de automóvil en una ciudad en un mes dado.

• El número de clientes que llegan a un comercio durante una hora.

• El número de errores detectados en la contabilidad de una empresa.

• La suma de los puntos que aparecen cuando se lanzan simultáneamente dos dados, etc.

Pero trabajar con los resultados cualitativos de un experimento aleatorio introduce ciertas complicaciones, siendo de gran utilidad el cuantificar los resultados cualitativos del experimento aleatorio, o lo que es lo mismo asignar un valor numérico a cada suceso del espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio considerado. Esta relación entre los sucesos del espacio muestral y el valor numérico que se les asigna la establecemos mediante la variable aleatoria.

Ejemplo 1

Supongamos un experimento aleatorio que consiste en lanzar dos monedas al aire, designamos con F la aparición de cara y por C la aparición de cruz.

Los posibles sucesos elementales del espacio muestral serán:

Si definimos la variable aleatoria X como el número de cruces que aparecen al lanzar las dos monedas, podemos establecer la siguiente correspondencia entre los sucesos del espacio muestral y los valores posibles de la variable aleatoria X.

Sucesos

Función Valores de la variable aleatoria

Variable Aleatoria

Número de cruces

Observamos que la variable aleatoria X es una función, pues a cada elemento del conjunto origen, sucesos del espacio muestral, le hace corresponder un solo elemento en el conjunto imagen, de valores de la variable aleatoria. Sin embargo, a cada valor de la variable aleatoria le puede correspondes uno o más sucesos.

A estas funciones cuyos valores dependen de los resultados del experimento aleatorio las llamaremos variables aleatorias, y son funciones del espacio muestral E en , es decir .

Definición 1. Variable aleatoria.

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral.

También podemos decir, aunque de forma menos rigurosa, que una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado de un experimento aleatorio. Notaremos con las letras mayúsculas X, Y, … la variable aleatoria y con las letras minúsculas, x, y, … sus valores.

La variable aleatoria puede tomar un número numerable o no numerable de valores posibles, dando lugar a dos tipos principales de variables aleatorias: discretas y continuas.

Definición 2. Variable aleatoria discreta.

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si puede tomar un número finito o infinito, pero numerable, de posibles valores.

Así pues, sería una variable aleatoria de tipo discreto el número de piezas defectuosas que aparecen en un proceso de fabricación, el número de llamadas telefónicas que son recibidas en una centralita en un periodo de tiempo, o el número de depósitos en una entidad bancaria; y si designamos la correspondiente variable aleatoria por X, entonces X puede tomar cualquiera de los valores

Definición 3. Variable aleatoria continua.

Se dice que una variable aleatoria X es continua si puede tomar un número infinito (no numerable) de valores, o bien, si puede tomar un número infinito de valores correspondientes a los puntos de uno o más intervalos de la recta real.

Es decir, la variable aleatoria de tipo continuo puede tomar cualquier valor en uno o más intervalos de la recta real. Así pues, situaciones típicas de variables aleatorias continuas serían las que hacen referencia a medidas tales como tiempo, peso o longitud. Por ejemplo, si representamos por X el tiempo que dedica un alumno en hacer un examen cuya duración máxima es de dos horas (120 minutos); tendríamos una variable aleatoria de tipo continuo que puede tomar infinitos valores en el intervalo .

Otro ejemplo de variable aleatoria continua sería la cantidad de lluvia caída cada día en un determinado punto geográfico, pues un equipo de medida de mucha precisión nos daría cada día la cantidad de lluvia registrada que podríamos hacer corresponder con un punto único del intervalo delimitado por el valor mínimo y el máximo de lluvia prevista. Cada uno de los infinitos puntos del intervalo podría ser un valor de la variable aleatoria X continua correspondiente a la cantidad de lluvia caída en ese punto geográfico durante un día.

2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

Sea X una variable aleatoria discreta que toma un número finito de valores, r en total, que indicaremos por

La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor particular , la designaremos por:

Definición 4. Distribución de probabilidad.

La distribución de probabilidad, función de probabilidad o función de cuantía de una variable aleatoria discreta X, la notaremos por , y es una función que asigna las probabilidades con que la variable aleatoria toma los posibles valores, de tal manera que las probabilidades verifiquen las dos condiciones siguientes:

I.

II.

La condición I indica que la probabilidad no puede ser negativa, y de la condición II se deduce que los sucesos, X

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