VARIABLE ALEATORIA

1) VARIABLE ALEATORIA:

1.1 CONCEPTO.- Una variable aleatoria de un espacio muestral (n) es la regla que asigna un valor numérico a cada resultado del espacio muestral, es decir es una función de (n) en el conjunto de los números reales.

Sean S un espacio muestral y (w) un experimento aleatorio. Una función X que asigna a cada (w) en S uno y sólo un número x = X (w), se llama variable aleatoria (V.A).

Ejemplos:

nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…)

Nº de camiones que llegan en 1 hora a la obra.

Tiempo de espera para cocción del ladrillo.

1.2 CLASES DE VARIABLE ALEATORIA: Pueden ser discretas o continuas

DISCRETAS: Variable que solo puede tomar ciertos valores claramente separados, que resultan de contar algún elemento de interés. Generalmente toma valores enteros, suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.

Ejemplos:

1. Si S se obtiene al lanzar al aire una moneda dos veces consecutivas, entonces la V.A.

X: número de caras obtenidas, es una V.A. discreta por ser su rango un conjunto finito.

2. Si S se obtiene de lanzar un dado hasta que resulte el primer cuatro, entonces la V.A

X: número de lanzamientos realizados, es una V.A. discreta por ser su rango un conjunto infinito numerable.

CONTINUAS: Es aquella que resulta principalmente de la medición y puede tomar cualquier valor, cuando su rango es un subconjunto de IR o un conjunto infinito no numerable de valores reales.

Ejemplos:

Si S es el tiempo de vida de un foco elegido al azar de un lote, entonces la V.A. X: tiempo de curado de una columna, es una V.A. continua por ser su rango el conjunto de los números reales positivos.

Sea el experimento: Pesar a los clientes de una tienda y sea la variable aleatoria.

X: peso de bloque de concreto armado, entonces los valores que puede tomar la variable serian:

X= {60.5; 60.35;……}

1.3 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA:

Sea x una variable aleatoria discreta. Su distribución viene dada por los valores que puede tomar, x1, x2, x3,…,xk, y las probabilidades de que aparezcan p1, p2, p3, …,pk. Estas cantidades reciben el nombre de función de probabilidad o función de masa.

Ejemplo: Suponga que está interesado en el número de caras que se obtienen al lanzar 3 veces una moneda ¿Cuál es la distribución de probabilidades para el n° de caras?

Existen 8 posibilidades igualmente probables :

Posibles resultados X: Numero de caras

CCC 3

CCS 2

CSC 2

SCC 2

SSC 1

SCS 1

CSS 1

SSS 0

Como se aprecia, la variable X solo toma los valores: 0; 1; 2; 3. La distribución probabilística para los eventos 0, 1,2 y 3 resultantes será:

N° de caras(X) p(X)

0 1/8=0.125

1 3/8=0.375

2 3/8=0.375

3 1/8=0.125

La función de distribución acumulada de una V.A. X, denotada por F, es una función tal que: F: IR  [0,1] tal que :F(X) = P(X≤ x) = P(ω є S / X(ω)≤ xi}), ɏ x є IR

PROPIEDADES:

1.-

lim┬(x→ -∞)⁡〖F(X)=0 〗 y lim┬(x→∞)⁡〖F(X)=1 o ,F(X)=-∞ y F(+∞)=1〗

2.- Para todo α єIR, P(X >α) =1 – F (α)

Función de probabilidad de una V.A.

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