Variables Aleatorias

Explique el significado de los siguientes términos:

a. Experimento aleatorio: llamamos experimentos aleatorios a aquellos cuyos resultados no pueden predecirse antes de su realización. Son experimentos que no dan siempre el mismo resultado al repetirlos en las mismas condiciones. Por ejemplo:

Tirar al aire un dado o una moneda

Predecir la duración de una conversación telefónica.

Lanzar un proyectil hacia un blanco determinado.

b. Espacio muestral: es el conjunto de todos los sucesos elementales.

c. Evento o suceso: llamamos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. Se dice que se ha producido el suceso A si el resultado del experimento es un elemento de A.

2. Se lanza una moneda cuatro veces. Encuentre todos los sucesos elementales del espacio muestral.

R/=

S = (CCCC) (CCCS) (CCSC) (CCSS) (CSCC) (CSCS) (CSSC) (CSSS) (SCCC)

(SCCS) (SCSC) (SCSS) (SSCC) (SSCS) (SSSC) (SSSS)

3. Supongamos que lanzamos una moneda y un dado, y que el espacio muestral S consta de doce elementos:

S = C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6}

Exprese explícitamente los siguientes eventos

A = sale cara y un número par}

A = C2, C4, C6}

B = {sale un número primo}

B = {C1, C2, C3, C5, S1, S2, S3, S5}

C = {sale sello y un número impar}

C = {S1, S3, S5}

Exprese explícitamente el evento:

(i) ocurre A o B,

R/= A o B = {C2}

(ii) ocurre B y C, y

R/= B y C = {C1, C2, C3, C5, S1, S2, S3, S5}

(iii) no ocurre en A.

R/= No ocurre en A: C1, C3, C5, S1, S2, S3, S4, S5, S6}

¿Cuáles parejas de eventos A, B Y C son mutuamente excluyentes?

R/= Excluyentes: {S4 y S6}

4. Determine la probabilidad de cada evento:

Sale un número par en el lanzamiento de un dado no cargado.

R/= El dado tiene 6 caras, y los números pares son 2, 4 y 6, por lo que:

P (A) = 3/6 = 0,5 = 50%

Al sacar una sola carta de una baraja de 52 cartas sale una K.

R/= La baraja inglesa tiene 52 Cartas de las cuales solo hay 4k, entonces.

P (A) = 4/52 = 0,076 = 7,6%

Sale por lo menos un sello al lanzar tres monedas no cargadas.

R/= S = {(CCC) (CCS) (CSS) (SSS)}

P(A) = 3/4 = 0,75 = 75%

Sale una bola blanca al sacar una sola bola de una bolsa con cuatro bolas blancas, tres rojas y cinco azules.

R/= B: Bolas blancas

R: Bolas rojas

A: Bolas azules

S = { B,B,B,B,R,R,R,A,A,A,A,A}

P(A) = 4/12 = 0,33 = 33%

5. En un curso de 20 hombres y 30 mujeres, un quinto de los hombres y un quinto de las mujeres son becados. Encuentre la probabilidad de que una persona escogida al azar sea mujer o la persona sea becada.

R/= A= 4

B = 6

P(A) = 4/10 = 0,4 = 40%

P (B) = 6/10 = 0,6 = 60%

P (AUB) = P(A) + P (B) – P (A∩B)

P (AUB) = 0,4 + 0,6 - 0

P (AUB) = 1 = 100%

6. En la tabla que sigue se da el cargo y sexo de los empleados de una empresa.

Cargo Sexo

Hombres Mujeres Total

Operarios

Administrativos

Directivos 80 113

30 17

4 6 193

47

10

Total 114 136 250

Recursos humanos de la empresa desea otorgar un premio como estímulo especial y para ello decide seleccionar al alzar uno de los trabajadores. Calcular:

la probabilidad de que la persona sea administrativo dado que es mujer.

R/= A = {17}

P(A) = 17/47 = 0,361 = 36,1%

la probabilidad de que la persona sea hombre dado que es directivo.

R/= B = {4}

P (B) = 4/10 = 0,4 = 40%

7. Se lanza un dado no cargado. Considere los eventos:

A = {2, 4, 6}

B = {1, 2}

C = {1, 2, 3, 4}

Encuentre P (A∩B), P (AUB).

R/= P (A) = 3/6 = 0,5 = 50%

P (B) = 2/6 = 0,33 = 33%

P (C) = 4/6 = 0,6 = 60%

* P (A∩B) = {2}

P (A∩B) = 1/6 = 0,16 = 16%

*P (AUB) = {1, 2, 4, 6}

P (AUB) = 4/6 = 0,66 = 66%

Encuentre P(A/B) y P (B/A).

R/= P(A/B) = (P (A∩B) )/(P (B)) = 0,16/0,33 = 0,48 = 48%

P (B/A) = (P (A∩B) )/(P (A)) = 0,16/0,5 = 0,32 = 32%

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