Variables Aleatorias

Variables Aleatorias

ε : Experimento Aleatorio

Ω : Espacio Muestral asociado a ε (cualitativo o cuantitativo)

X es una variable aleatoria, si es una función tal que asigna a cada un numero:[pic 1]

[pic 2]

                                                                             [pic 3]

Una variable aleatoria es una función que toma valores en probabilidad, es decir, no se puede predecir con certeza sus valores o resultados.

X : Variable aleatoria

x : Valor que toma X

X es una V.A Discreta ⇔ Rec (X) es un conjunto finito o infinito pero contable (valores enteros).

X es una V.A Continua ⇔ Rec (X) es un subintervalo de ℝ.

1. Función de Cuantía o de Masa de Probabilidad: [pic 4]

(“Frecuencia relativa: ”) Sea X una variable aleatoria discreta tal que X ∈ {x1, x2, x3, …}.[pic 5]

  es la probabilidad de que X tome un valor específico x : [pic 7][pic 6]

, [pic 8][pic 9]

Propiedades:

 [pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

1. Función de Densidad de Probabilidad: [pic 13]

Sea X una variable aleatoria continua tal que X ∈ Rec(X).   es la probabilidad de que X esté entre los valores a y b (distribución de probabilidad). [pic 14]

[pic 15]

Propiedades:[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

 [pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

1. Función de Distribución de Probabilidad Acumulada : [pic 22]

(“Frecuencia relativa acumulada: ”) Sea X una variable aleatoria,  es la probabilidad de que X tome algún valor menor o igual a x .[pic 23][pic 24]

[pic 25]

Propiedades: [pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

1. Localización y Dispersión de una Variable Aleatoria

1. Valor Esperado / Esperanza Matemática

(“Promedio/Media”: ) [pic 31]

Sea X una variable aleatoria, se define el valor esperado de X, como:

[pic 32]

Sea X una variable aleatoria, se define el valor esperado de una función real, g(x) de X, como:

[pic 33]

Propiedades: ,b constantes y X variable aleatoria[pic 34]

• [pic 35]
• [pic 36]
•  (Cambio de escala)[pic 37]
•  (Cambio de localización)[pic 38]

1. Varianza

La varianza de una variable aleatoria X, se define como el valor esperado del cuadrado de la diferencia entre la variable aleatoria y su valor esperado:

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

Propiedades: ,b constantes y X variable aleatoria[pic 42]

• [pic 43]
•  (Siempre positiva) [pic 44]
•  (Cambio de escala)[pic 45]
•  (El cambio de localización no tiene efectos sobre la varianza)[pic 46]

Recordatorio![pic 47]

Distribuciones de Probabilidad

1. Modelos de Variable Aleatoria Discreta

1. Distribución Bernoulli

Un experimento de Bernoulli es un ensayo que solo tiene 2 resultados: Éxito(E) y Fracaso(F). Cualquier evento de interés A será éxito y Ac  fracaso.  

Sea X una variable aleatoria con distribución Bernoulli y p la probabilidad de éxito (0 < p < 1):

X: Resultado del ensayo.          [pic 48]

Éxito: [pic 49]

Fracaso: [pic 50]

Función de Probabilidad:[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

1. Proceso Bernoulli

Un proceso Bernoulli es una secuencia finita o infinita de variables aleatorias independientes distribuidos de forma idéntica, p no cambia (0 < p < 1).

Supongamos que se repite el ensayo n veces,  X1, X2, X3… , Xn , con ={0, 1}:[pic 55]

: Resultado en el i-ésimo ensayo.      [pic 56][pic 57]

Función de Probabilidad:[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

1. Distribución Binomial

Sea X una variable aleatoria Binomial y  p la probabilidad de éxito (0 < p < 1):

X: Número de éxitos observados en n ensayos.      [pic 65]

[pic 66]

Función de Probabilidad:

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

=DISTR.BINOM.N(; ; ; acumulado)[pic 70][pic 71][pic 72]

1. Distribución Geométrica

Sea X una variable aleatoria Geométrica y  p la probabilidad de éxito (0 < p < 1):

X: Número de ensayos hasta la ocurrencia del primer éxito.     [pic 73]

Función de Probabilidad:

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

1. Transformación “Hasta antes” en Distribución Geométrica

En la distribución geométrica, tenemos una transformación útil que hace referencia a …ensayos… “hasta antes”…:[pic 77][pic 78]

 [pic 79]

 [pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

1. Relación Distribución Geométrica y Binomial

Sea X una variable aleatoria Geométrica,

X: Número de ensayos hasta la ocurrencia del primer éxito.     [pic 84]

Sea Y una variable aleatoria Binomial,

Y: Número de éxitos observados en n ensayos.      [pic 85]

Si tienen que ocurrir más de n ensayos hasta el primer éxito , ¿Cuántos éxitos hay en n ensayos ?[pic 86][pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

1. Distribución Binomial Negativa

Sea X una variable aleatoria Binomial Negativa y  p la probabilidad de éxito (0 < p < 1):

X: Número de ensayos hasta obtener   éxitos.      [pic 90][pic 91]

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