Definición y diferencia de Aritmética y Álgebra

2. Definición y diferencia de Aritmética y Álgebra

Algebra es la rama de las matemáticas considerada como una continuación de la Aritmética, sin embargo, estudia cantidades consideradas del modo más general. Mientras que, en Aritmética, las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un número mayor o menor a 20 habrá que escribir un número distinto a 20. En Algebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, al representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar 20, más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto al que hemos asignado.

Valor absoluto y relativo                                                                              Si definimos al valor absoluto de una cantidad como el número que representa la cantidad prescindiendo de signo o sentido de la cantidad, y el valor relativo es el sentido de la cantidad, representado por el signo; entonces, las cantidades aritméticas son las que expresan solamente el valor absoluto de las cantidades  representado por los números, pero no nos dicen el sentido o valor relativo de la cantidad. Así, cuando en aritmética escribimos que una persona tiene $5, tenemos solamente la idea del valor absoluto de esta cantidad, pero no sabemos si la persona tiene $5 de haber o de deuda.  Mientras que,  las cantidades algebraicas expresan tanto el valor absoluto de las cantidades como su sentido o valor relativo por medio del signo. Así escribiendo que una persona tiene +$5, expresamos el valor absoluto $5 y el sentido relativo (haber) expresado por el signo +.

Signos empleados en Álgebra

1.- Signos de relación. Se emplean para indicar la relación entre dos cantidades, los principales son: =, llamado “igual a”; ˃, llamado “mayor que” y ˂, llamado “menor que”. 2.- Signos de agrupación. Indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero, los signos de agrupación son: Paréntesis ordinario ( ); paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { }, y la barra de vinculo —.                                                  3,-Signos de operación. En Algebra, se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en aritmética: la suma o adición, multiplicación, sustracción o resta y división. Los símbolos que se usan para indicar dichas operaciones son: El signo de la suma es: +,  llamado “más”; el signo de la multiplicación puede ser: ∙, ( ) ( ), x,  llamado “por”; el signo de la resta es: -, llamado “menos”; el signo de la división es: ÷, llamado “entre” o “dividido por”; el signo para elevar potencias es el exponente: a3, llamado “potencia”; el signo de la raíz es √, llamado “radical”.

2.1 Clasificación de los números

El concepto de número natural, que satisface las exigencias de la Aritmética elemental no responde a la generalización y abstracción características de la operatoria algebraica.  Conviene pues, considerar como se ha ampliado el campo de los números por la introducción de los nuevos conceptos en Algebra (Figura 1)

• Números Naturales (N): Son los números mayores a cero que se usan para contar; N = {1, 2, 3, 4,…}.

•         Números primos: son números naturales que tienen solamente dos divisores, la unidad y el número propio; {1, 3, 5, 7, 11,…}
•         Números compuestos: son números naturales que tienen más de un divisor;  {2, 4, 6, 8, 9,…}

• Números Enteros (Z): Conjunto formado por números positivos (N), negativos y cero;  Z= {-3, -2. -1, 0, 1, 2, 3,…}        

•  Números Racionales (Q): son de la forma    siendo p y q números enteros y q≠0, se les conoce como fracciones comunes;                                  [pic 1][pic 2]
•  Números Irracionales (I): son todos aquellos números que su parte decimal se conforma por una serie infinita de dígitos pero no existe periodo y por lo regular son resultados de raíces no exactas; π,                         [pic 3]
•  Números Reales (R): Se refiere al conjunto de números formado por los números enteros, racionales e irracionales. 

Figura 1 Conjunto de los números Reales

[pic 4]

Operaciones básicas

El conjunto de los números naturales se inventó a partir de la necesidad de contar. En el análisis de las operaciones básicas  en este conjunto, se encontró la necesidad de ampliarlo al de los números enteros.

Operaciones básicas con número enteros

Suma                                                                                                                           Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). En Aritmética la suma siempre significa aumento, pero en Algebra, la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución. Resulta pues que, sumar una cantidad  negativa equivale a restar una cantidad positiva de igual valor absoluto.

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