Deflexion

DEFLEXION DE VIGAS POR INTEGRACION

Una viga prismática sometida a flexión pura, se flexiona en forma de arco y que, dentro del rango elástico, la curvatura de la superficie neutra puede expresarse como:

I M

___ = __

P EI

Siendo M el momento flector, E el módulo de elasticidad e I el momento de inercia de la sección transversal, con respecto al eje neutro. Cuando una viga esta sometida a carga transversal, la ecuación permanece válida para cualquier sección transversal, siempre que el principio de Saint-Venant sea aplicable, Sin embargo, el momento flector y la curvatura de la superficie neutra variará en las diversas secciones, Si X es la distancia de la sección al extremo izquierdo de la viga, se tiene:

I M(x)

=

____ _____

P EI

Para determinar la pendiente y la deflexión de la viga en cualquier punto, se deduce primero la siguiente ecuación diferencial lineal de segundo orden que caracteriza a la curva elástica o forma de la viga deformada.

2

D Y M(x)

=

____ ____

2

D X EI

Si el momento flector puede representarse, para todos los valores de X, por una sola expresión M{x} como en el caso de vigas y cargas, la superficie 0 = dy/d.C. y la deflexión y en cualquier punto de la viga pueden obtenerse por dos integraciones sucesivas.

Las dos constantes de integración introducidas en el punto se determinarán de las condiciones de fronteras indicadas, Sin embargo, si se requieren diferentes funciones para representar el momento flector en varias porciones de la viga, se requerirán también diferentes ecuaciones diferenciadas, que conducirán a distintas funciones para la curva elástica en las diversas porciones de viga.

En caso de una viga con carga distribuida W{x}, la curva elástica puede obtenerse directamente de W{x} mediante cuatro integraciones sucesivas, Las constantes introducidas en el proceso se obtendrán de los valores límite de V, M, 0, Y.

El método antes escrito, para la determinación de la curva elástica cuando se requieren varias funciones para representar el momento flector M, puede ser muy laborioso ya que requiere ajustar pendientes y ordenadas en cada punto de transición.

Un método alternativo para calcular 0 y y, basado en ciertas propiedades geométricas de la curva elástica e introduciendo el cálculo de área y momentos de áreas bajo la curva de momento flector, se analizará en el capitulo 9.

La última parte del capitulo se dedicara al método de superposición, que consiste en determinar separadamente la pendiente y deflexión causadas por diferentes cargas aplicadas a la viga y luego sumar, Este método se facilita usando la tabla del apéndice D, que muestra las pendientes y las deflexiones de la viga para diversas cargas y tipo de apoyo.

ECUACION DE LA CURVA ESTATICA

Recuérdese primero, del cálculo elemental, que la curvatura de una curva plana en un punto Q{x,y} de la curva es:

2

D Y

______

2

1 D X

__ = __________

P ² 3/2

[1+ ( DX) ]

_____

DX

2 2

En donde dy /d.x. y dy /d. son la primera y segunda derivadas de la función y{x} representada por esa curva . Pero, en el caso de la curva elástica de una viga, la pendiente dy/d.C. es muy pequeña y su cuadrado es despreciable comparado con la unidad. Entonces :

2

1 D Y

___ = _____

2

P D X

Sustituyendo por 1/P, se tiene

2

DY M(x)

...