Derivacion. Reglas.

Reglas de Derivaci_on

Sean f : A ! R y g : A ! R dos funciones derivables en un punto c 2 A.

Entonces:

_ _ _ f es derivable en c para todo _ 2 R y

(_ _ f)0(c) = _f0(c):

_ f _ g es derivable en c y

(f _ g)0(c) = f0(c) _ g0(c):

_ f _ g es derivable en c y

(f _ g)0(c) = f0(c)g(c) + f(c)g0(c):

_ Si g(c) 6= 0; entonces f=g es derivable en c y

_

f

g

_0

(c) =

f0(c)g(c) 􀀀 f(c)g0(c)

􀀀

g(c)

_2 :

Regla de la Cadena

Si f es una funci_on derivable en un punto c, y g es otra funci_on der__vable

en f(c), entonces (g _ f) es derivable en c y la derivada viene dada por

(g _ f)0(c) = g0(f(c)) _ f0(c):

Ejemplo: Sea h(x) = cos(x5): Calcula h0(x):

Soluci_on: La funci_on h(x) es composici_on de funciones, por tanto hay que

aplicar la regla de la cadena:

h(x) = cos(x5);

g(x) = cos(x);

f(x) = x5;

+

h0(x) = g0(f(c)) _ f0(c);

+

h0(x) = 􀀀sin(x5) _ (5x4) = 􀀀5x4 sin(x5):

1

Tabla de Derivadas Elementales

_ Funcion Constante:

f(x) = k; k 2 R ) f0(x) = 0:

_ Funcion Potencial:

f(x) = xa; a 2 R ) f0(x) = axa􀀀1:

Ejemplo ampliado: h(x) = f(x)a ) h0(x) = a

􀀀

f(x)

_a􀀀1

f0(x).

_ Funcion Logar__tmica:

f(x) = loga(x); a > 0 y a 6= 1 ) f0(x) = 1

x ln(a) :

Ejemplo ampliado: h(x) = loga(f(x)) ) h0(x) = f0(x)

f(x) ln(a) .

Nota: Si f(x) = ln(x) ) f0(x) = 1

x :

_ Funcion Exponencial:

f(x) = ax; a > 0 y a 6= 1 ) f0(x) = ax ln(a):

Ejemplo ampliado: h(x) = af(x) ) h0(x) = f0(x)af(x) ln(a).

Nota: Si f(x) = ex ) f0(x) = ex:

_ Funcion Seno:

f(x) = sin(x) ) f0(x) = cos(x):

Ejemplo ampliado: h(x) = sin(f(x)) ) h0(x) = f0(x) cos(f(x)).

_ Funcion Coseno:

f(x) = cos(x) ) f0(x) = 􀀀sin(x):

Ejemplo ampliado: h(x) = cos(f(x)) ) h0(x) = 􀀀f0(x) sin(f(x)).

_ Funcion Arcoseno:

...