Derivada TASA DE VARIACIÓN MEDIA

TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx). Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h. Δy = [f(a+h) − f(a)]Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es: Interpretación geométrica La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h. ya que en el triángulo PQR resulta que:

UNIVERSIDAD TECNOLÒGICA DE PANAMÁ SEDE REGIONAL DE COLÓN CÁLCULO I PRIMER SEMESTRE 2015 CONCEPTO DE DERIVADA EN UN PUNTO: La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de la TVM cuando el incremento de la variable tiende a cero.Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2. Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

UNIVERSIDAD TECNOLÒGICA DE PANAMÁ SEDE REGIONAL DE COLÓN CÁLCULO I PRIMER SEMESTRE 2015 Por lo dicho anteriormente y por la interpretación geométrica de la TVM se puede definir la derivada de una función f(x) en un punto x0 -f’(x0) - como la pendiente de la tangente a la gráfica de esa función en el punto (x0, f(x0)).mt = f'(x0)Ejemplo 1: Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m= 1. Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que: f'(a) = 1. FUNCIÓN DERIVADA.La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x). Calcular la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.

UNIVERSIDAD TECNOLÒGICA DE PANAMÁ SEDE REGIONAL DE COLÓN CÁLCULO I PRIMER SEMESTRE 2015 Hallar f'(−1), f'(0) y f'(1) f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3 f'(0) = 2(0) − 1 = −1 f'(1) = 2(1) − 1 = 1 DERIVADAS LATERALES. Derivada por la izquierda Derivada por la derecha Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.DERIVADAS DE LAS FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntosde separación de los distintos trozos. Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

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