Derivadas

1 Consideremos la siguiente expresión:

| 1#2#3#4#…#2006#2007 |

Tenemos que reemplazar cada símbolo # por un + o por un – . ¿Cuál es el menor número que se puede conseguir luego de hacer estos reemplazos?

Aclaración: Las barras” | |” indican valor absoluto.

2 Quince elefantes están en una fila. Sus pesos están expresados por un número entero de kilogramos. La suma del peso de cada elefante (a excepción del que está más adelante) con el doble del peso del elefante que está delante de él es exactamente 15 toneladas. Determine el peso de cada elefante.

3 Halle el mayor número d, que divide a todos los números de la forma n(n+1)(2n+1996), donde n es un número natural.

4. El número natural tiene exactamente dos divisores positivos, y el número tiene exactamente tres divisores positivos. ¿Cuántos divisores positivos tiene ?

5. Se tienen 19 pesas distintas de 1 g, 2 g, 3 g, …, 19 g. Nueve son de acero, nueve son de bronce y una es de oro. Se sabe que el peso total de las pesas de acero es 90 g superior al peso total de las pesas de bronce. Hallar el peso de la pesa de oro.

6. Consideremos el número .

a) Demuestre que es un cuadrado perfecto.

b) Determine el resto de dividir entre 9.

7. Sea la mayor raíz de la ecuación

Calcule el valor de .

8. El entero positivo tiene 1994 cifras. De estas, 14 son iguales a cero y los números de veces que aparecen las demás cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, están en la razón 1:2:3:4:5:6:7:8:9, respectivamente.

Demostrar que no es un cuadrado perfecto.

9. A cada número entero positivo , , le restamos la suma de los cuadrados de sus cifras. ¿Para qué valores de esta diferencia es la mayor posible?

10. Hallar el menor entero positivo tal que las 73 fracciones:

sean todas irreductibles.

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