Derivadas

GUÍA DE DERIVADAS

Definición de Derivadas

Deriva las siguientes funciones, usando la definición

y=3x+2

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(3(x+∆x)+2-f(3x+2))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(3x+3∆x+2-3x-2)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖3∆x/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡3

〖y^'= 〗⁡3

y=2a+b

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(f(a+∆a)-f(a))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(2(a+∆a)+b-f(2a+b))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(2a+2∆a+b-2a-b)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖2∆x/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡2

〖y^'= 〗⁡2

y=x^2

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖((x+∆x)^2-(x)^2)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(x^2+2x∆x+〖(∆x)〗^2-x^2)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(2x∆x+〖(∆x)〗^2)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(∆x(2x+∆x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖2x+∆x〗

y^'=2x

f(x)=〖3x〗^2-5x

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(3(x+∆x)^2-5(x+∆x)-(〖3x〗^2-5x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(3(x^2+2x∆x+(∆x)^2 )-5x-5∆x-〖3x〗^2)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(〖3x〗^2+6x∆x+3(∆x)^2-5∆x-〖3x〗^2)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(6x∆x+3(∆x)^2-5∆x)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(∆x(6x+3∆x-5))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖6x+3∆x-5〗

〖y^'= 〗⁡〖6x-5〗

y=〖ax〗^2+bx+c

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(〖a(x+∆x)〗^2+b(x+∆x)+c-〖(ax〗^2+bx+c))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(〖a(x〗^2+2x∆x+〖(∆x)〗^2)+bx+b∆x+c-〖ax〗^2-bx-c)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(〖ax〗^2+2ax∆x+a〖(∆x)〗^2+b∆x-〖ax〗^2)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(2ax∆x+a〖(∆x)〗^2+b∆x)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(∆x(2ax+a∆x+b))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖2ax+a∆x+b〗

y^'=2ax+b

y=x^3

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖((x+∆x)^3-x^3)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(x^3+3x^2 ∆x+3x〖(∆x)〗^2+〖(∆x)〗^3-x^3)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(3x^2 ∆x+3x〖(∆x)〗^2+〖(∆x)〗^3)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(∆x(〖3x〗^2+3x∆x+(∆x)^2))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖〖3x〗^2+3x∆x+(∆x)^2 〗

y^'=〖3x〗^2

y=x^3-x^2

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖((x+∆x)^3-(x+∆x)^3-〖(x〗^3-x^2))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(x^3+3x^2 ∆x+3x〖(∆x)〗^2+〖(∆x)〗^3-〖(x〗^2+2x∆x+(∆〖x)〗^2 )-x^3+x^2)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(3x^2 ∆x+3x〖(∆x)〗^2+〖(∆x)〗^3-x^2-2x∆x-(∆〖x)〗^2+x^2)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(3x^2 ∆x+3x〖(∆x)〗^2+〖(∆x)〗^3-2x∆x-(∆〖x)〗^2)/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(∆x(3x^2+3x∆x+(∆x)^2-2x-∆x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖3x^2+3x∆x+(∆x)^2-2x-∆x〗

y^'=3x^2-2x

y=2x/(x-1)

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖((2(x+∆x))/((x+∆x)-1)-2x/(x-1))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(((x-1)(2(x+∆x))-(x+∆x-1)(2x))/((x+∆x-1)(x-1)))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(((x-1)(2x+2∆x)-(〖2x〗^2+2x∆x-2x))/((x+∆x-1)(x-1)))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖((〖2x〗^2+2x∆x-2x-2∆x-〖2x〗^2-2x∆x+2x)/((x+∆x-1)(x-1)))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖((-2∆x)/((x+∆x-1)(x-1)))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(-2∆x)/((x+∆x-1)(x-1)∆x)〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(-2)/((x+∆x-1)(x-1))〗

〖y^'= 〗⁡〖(-2)/((x-1)(x-1))〗

〖y^'= 〗⁡〖(-2)/〖(x-1)〗^2 〗

y=3/x^2

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(3/(x+∆x)^2 -3/x^2 )/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖((〖3x〗^2-3(x^2+2x∆x+〖(∆x)〗^2)/(x^2 (x^2+2x∆x+(∆x)^2)))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖((〖3x〗^2-3x^2-3x∆x-3〖(∆x)〗^2)/(x^4+2x^3 ∆x+x^2 ∆x))/∆x〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(-3x∆x-3〖(∆x)〗^2)/(〖∆x(x〗^4+2x^3 ∆x+x^2 〖(∆x)〗^2))〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(∆x(-3x-3∆x))/(〖∆x(x〗^4+2x^3 ∆x+x^2 〖(∆x)〗^2))〗

〖y^'= lim┬(∆x→0)〗⁡〖(-3x-3∆x)/(x^4+2x^3 ∆x+x^2 〖(∆x)〗^2 )〗

y^'= (-3x)/x^4

Recta Tangente Y Normal

Encuentra la recta tangente y la recta normal a las siguientes curvas en los puntos que se indican

y=9-x^2 ;(2,5)

Derivo

y^'=-2x

Pendiente

m_j=-2x

Evaluó en el punto

m_j=-2(2)

m_j=-4

Aplico formula punto pendiente

y-y_1=m(x-x_1)

y-5=-4(x-2)

y-5=-4x-8

4x+y-5-8=0

4x+y-13=0  Recta normal

Pendiente

m_l*m_j=-1

m_l=(-1)/m_j

m_l=(-1)/(-4)

m_l=1/4

Aplico formula punto pendiente

y-y_1=m(x-x_1)

y-5=1/4(x-2)

4y-20=1x-2

0=x-4y-2+20

0=x-4y+18  Recta tangente

y=x^2+4 ;(-1,5)

Derivo

y'=2x

Pendiente

m_j=2x

Evaluó en el punto

m_j=2(-1)

m_j=-2

Aplico formula punto pendiente

y-y_1=m(x-x_1)

y-5=-2(x+1)

y-5=-2x-2

2x+y-5+2=0

2x+y-3=0 Recta normal

Pendiente

m_l*m_j=-1

m_l=(-1)/m_j

m_l=(-1)/(-2)

m_l=1/2

...