Derivadas

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

LA DERIVADA

La derivada de una función en un punto es el valor que tiene la pendiente de la tangente en ese punto concreto. La pendiente viene determinada por la tangente del ángulo que forma la tangente a la curva de la función.

La derivada de una función mide la variación de esa función. Su variación indica el crecimiento o decrecimiento de la función.

En la imagen se puede observar como es el crecimiento de una función.

Derivadas en la Actualidad

El uso de derivadas y sus aplicaciones es muy variado, las derivadas son útiles en economía, psicología, medicina, administración, ingeniería,electricidad, electrónica, termodinámica, mecánica, biología, etc.

Se utilizan para la optimización de recursos para tratar de ocupar el mínimo espacio, tiempo o materiales en algo o maximizar su espacio; en medicina para obtener un cálculo aproximado de la velocidad de reproducción de virus, bacterias etc.

En física donde la primera derivada se utiliza para la velocidad y la segunda para la aceleración.

En definitiva las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.

TEOREMA

Supongamos que f es derivable en el intervalo abierto (a,b). Entonces la funcion f es estrictamente creciente en (a,b) si F:(x) >0 para a

APLICACIONES DE LA DERIVADA

1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002×2+0.8×-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0 ,

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

f

* *

f ´ + 200 -

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100,

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