Derivadas

“El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.”

El cálculo diferencial es el estudio del cambio de una ecuación que tiene al analizar su funciones, cuando esas variables cambian constantemente y cuando estas tienden a cero (Se hacen cada vez más pequeño).

En mi opinión al iniciar el semestre la materia de cálculo diferencial se me hacía muy complicado ya que el profesor anterior no nos había enseñado las cosas básicas que tiene que ver con esta materia como es el álgebra, puesto que el álgebra es la raíz de todo lo visto en esta materia, desde los binomios hasta el trinomio cuadrado perfecto.

Muchos decían que el profesor era bueno al desempeñar el rol de maestro y de amigo, ya que explica bien y exponía las dudas, no para burlarse si no para llegar a una conclusión y poder razonar las situaciones de la vida cotidiana que nos rodean.

Hemos llevado varios temas, nos enfocamos en la vida cotidiana en que podemos aplicar los temas.

“La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación.”

En el cálculo diferencial es uno de los temas que vimos son las derivadas.

La derivada es la modificación de una función a medida que esta representa alteraciones en su entorno, hasta cierto punto dado y en conjunto de la pendiente de una recta.

“Derivada es un término que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.”

Al derivar una función el fin es hacer de ella más compleja con la finalidad de encontrar un límite real aparente, al igualarla a un recta tangente deberíamos encontrar un punto en esa recta que sea paralela a la ecuación dada.

Si la función f ' es derivable, podemos calcular la derivada de esta función y obtenemos una nueva función que llamamos derivada segunda de f y representamos por f ''.

Si razonamos de forma análoga con f '', podemos obtener la derivada tercera de f que llamamosf ''' y así sucesivamente: f iv, f v, ...

Ejemplo:

f f ' f '' f ''' f iv

x3 3x2 6x 6 0

ex ex ex ex ex

ln x 1/x -1/x2 2/x -2/x2

sen x cos x -sen x -cos x sen x

Criterio del signo se la derivada primera

En lo sucesivo vamos a tratar con funciones continuas y derivables. En un curso superior sobre derivadas se considerarán otras situaciones.

Ya vimos que hay una relación entre la monotonía de la función f(x) (crecimiento ó decrecimiento) y el valor de la derivada primera f ´(x).

f(x) creciente: f ´(x) > 0

f(x) decreciente: f ´(x) < 0

También veíamos que en los puntos donde la función cambia de creciente a decreciente o de decreciente a creciente la derivada se hace cero f ´(x) = 0 ya que el cambio de signo de la derivada se hace con continuidad y necesariamente tiene que pasar por el valor 0.

Tenemos dos esquemas posibles, cuando cambia la monotonía de la función al pasar por el punto x = a donde la función es continua

Crecimiento Máximo local Decrecimiento

f ´(a-h) > 0 f ´(a) = 0 f ´(a+h) < 0

Decrecimiento Mínimo local Crecimiento

f ´(x-h) < 0 f ´(a) = 0 f ´(a+h) >0

Ejemplo 1:

Sea la función f(x) = x3-6x2+9x+2, la función derivada es f

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