Derivadas

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA

DOCTORADO EN CIENCIAS EDUCATIVAS

Teorías del aprendizaje Instructora: Dra. Hilda Fernández de Ortega Bárcenas Tema: Conductismo y cognitivismo en el aprendizaje de la derivada

Alumno: Maximiliano Cervantes S. Ensenada, B.C., Abril 2006

INTRODUCCIÓN El ejercicio de la ingeniería requiere de una fuerte dosis en las técnicas de modelación y particularmente en modelación matemática. Relacionado con ello, se encuentran las situaciones reales en que es frecuente analizar las variaciones de los fenómenos reales con el objeto de optimizar la utilización de recursos, tal como ocurre con la reducción de costos, la maximización de la productividad, utilidades entre otros. En otra dirección, la modelación se hace sobre

planteamientos teóricos que funcionan como conocimientos básicos para las ciencias de la ingeniería y de la ingeniería aplicada. En este doble papel, el aprendizaje del cálculo matemático juega un rol central. En él, el concepto de derivada que permite relacionar las variaciones se constituye en una piedra angular, sin embargo su apropiación resulta compleja. En el presente artículo se bosqueja una forma alternativa de acceder a dicha noción y se presenta en forma sucinta y esquemática las condiciones en que podrían utilizarse una propuesta conductista o una cognitiva para su aprendizaje.

Sobre la noción de derivada. Hablar de matemáticas es hablar de un tema con ciertos matices de dificultad, particularmente en lo relativo a las actividades deaprendizaje. Todavía más crítico es hablar del aprendizaje de las matemáticas en las escuelas de ingeniería, donde tradicionalmente los cursos de cálculo son el tornado de destrucción que no deja ni rastros de sentido común en algunos de sus conceptos fundamentales. Desafortunadamente, la práctica de la ingeniería requiere de un cierto dominio de las matemáticas que no da oportunidad a un intento de fuga. Así profesores y alumnos, enfrentan en algunos momentos la frustrante tarea de comprender lo que ha sido difícil desde su misma génesis, como el más vivo de todos los ejemplos, tenemos el concepto derivada, la piedra angular del cálculo diferencial.

Una revisión rápida a la investigación realizada los últimos años en México en educación media superior y superior, nos indica que poco más del cuarenta por ciento fue hecha sobre el cálculo diferencial e integral de una sola variable (Camarena, 2003). Ante tal panorama, una pregunta obligada es ¿qué tiene en particular este tema para que sea tan incómodo y a la vez tan investigado?

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En el ojo de la tormenta se encuentran factores de naturaleza epistemológica (Bloch y Schneider, 2004). Desde sus planteamientos por Leibniz y Newton desde finales del siglo XVII ha sido fuente de polémicas. Las críticas más notorias fueron hechas por el Obispo inglés George Berkeley a principios del siglo XVIII cuestionando la logicidad de sus fundamentos (Collette, 1998). Tal pareciera, que el nuevo bebé conceptual naciera con malformaciones: En la búsqueda de una forma

de calcular la velocidad de un objeto en un momento dado, se desarrolla la noción de derivada que recurre a un artificio para tener un valor de velocidad en un lapso de tiempo igual a cero. ¡La magia de las matemáticas a veces con matices de magia negra!

Es precisamente el aprendizaje conceptual de esta noción la que se ha convertido en uno de los factores de deserción escolar en México y que se opte con frecuencia por el aspecto instrumental, de aprenderse las reglas de su aplicación sin profundizar en lo que se hace (Cantoral y Reséndiz, 2003) y evitar así, altos niveles de reprobación. Apropiadas resultan las palabras de Berlinski (1995, p.165):

“Pero Hafez, Hafez, ... la derivada es un artefacto, el primero de la gran ciencia moderna que falla visiblemente en corresponder con algo en la realidad. Para expresar la velocidad como una función del tiempo, el matemático está preparado para sacrificar el sentido común, está preparado para sacrificar la definición intuitiva de velocidad, de hecho, está preparado para sacrificar cualquier cosa”

¿Podríamos incluir en este sacrificio a la comprensión? Berlinski sostiene que no hay remedio, hay que sacrificar ¡cualquier cosa!. Son claros los efectos del tornado del cálculo, no deja nada de donde asirse para comprender este ser conceptual llamado derivada que ya tiene poco más de tres siglos de edad.

¿Pero que ha hecho la ciencia educativa para librar semejante batalla? Aunque en matemáticas, la educación ha tenido sus propias neblinas: la matemática moderna, el retorno a lo básico, la resolución de problemas y los estándares para la escuelas de matemáticas (Clements y Ellerton, 1996), la didáctica para el aprendizaje de la derivada no escatima recursos en esta guerra por la comprensión: desde luego se apoya en los recursos tecnológicos de cómputo, en el uso de laboratorios como entornos didácticos o contextualizados, en las actividades de modelación matemática entre otros (Tall & Mejía, 2004; Bloch y Schneider, 2004; Gravemeijer & 3

Doorman,1999; Camarena, 2003). A pesar de todo esto y tal vez más, aunque la batalla no está perdida, tampoco está ganada.

Sin duda la didáctica no podrá hacer mucho en el avance por la comprensión profunda del concepto, mientras la epistemología del mismo permanezca más o menos igual. La estrategia de la ciencia educativa para definir esta guerra por el aprendizaje debe librarse más en el terreno epistemológico, ahí hay que enfrentar a tal Goliat. Esto implica dar respuesta a preguntas como ¿Qué es el

concepto de derivada?¿qué significa? o tal vez ir más allá y preguntarse sobre las mismas matemáticas ¿qué son los conceptos matemáticos?¿cuál es su naturaleza?

Tal vez no haya respuestas claras, pero lo que sí es claro para lograr un aprendizaje significativo, es que el nuevo conocimiento debe de alguna forma relacionarse con lo que se tiene en la mente, con la estructura cognitiva del aprendiz. Para llegar al cálculo el estudiante de ingeniería ha llevado aproximadamente doce años aprendiendo conceptos matemáticos y utilizándolos de diversas maneras. Estos conceptos ya tienen un significado para él (Godino, 1994; 1996), ¿Son apropiados estos significados para enfrentar la nociones del cálculo? La experiencia nos sugiere que no es así (Cantoral y Reséndiz, 2003).

Si esencialmente la matemática que deben aprender los ingenieros es para apoyar las actividades de modelación propias de su profesión (Vargas, 1998), ¿porqué los conceptos matemáticos no son

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