Derivadas

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

AUTOR:

Barquisimeto, Septiembre 2014

TEOREMA DE ROLLE

El Teorema de Rolle dice que:

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del Teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

EJEMPLOS

¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].

No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

TEOREMA DE CAUCHY

El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.

Al Teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.

EJEMPLO

Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:

f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x − 5.

En caso afirmativo, aplicarlo.

Las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4).

Además se cumple que g(1) ≠ g(4).

Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

TEOREMA DEL VALOR MEDIO (LAGRANGE)

El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:

Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).

EJEMPLO

Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x3 − x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos.

Por ser y = x3 − x2 + 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar el teorema del valor medio:

¿Se puede aplicar el Teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?

f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

FUNCIÓN CRECIENTE

Es cuando a un incremento de x le corresponde un incremento positivo de y; a un incremento negativo de x le corresponde un incremento negativo de y. O sea a medida de que el valor de x aumenta, aumenta el de y; de donde, él y el tendrán el mismo signo.

Se dice que la función y=f(x) es creciente en un intervalo si es creciente todos los valores del intervalo.

FUNCIÓN DECRECIENTE

Es cuando a un incremento positivo de x le corresponde un incremento negativo de y; a un incremento negativo de x le corresponde un incremento positivo de y. O sea el valor de y disminuye cuando x aumenta; de donde, él y el tendrán signos opuestos.

Se dice que la función y=f(x) es decreciente en un intervalo si es decreciente para todos los valores del intervalo.

EJEMPLOS

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos

Resolución:

La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x32 > x42 (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente decreciente en x = 0.

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