Derivadas

Taller de Calculo

Tema:

Derivada de una Función

Profesor:

Belisario Betancourt

Integrantes:

GTE1 Ariza Florez Brandon

GTE1 Arenas Gomez Gerardo

Curso:

Electronica Bravo

Fecha:

18/02/2014

Barranquilla - Colombia

Consulta Web

(Cuestionario)

1. ¿Cuál es la interpretación grafica de la derivada de una función osea interpretación (geométrica de la derivada)?

2. ¿Qué es el Cálculo? (en matemáticas).

3. ¿Qué es Cálculo Diferencial?

4. Escriba 3 conceptos distintos de derivadas de una función.

5. ¿Cuáles son las propiedades (o leyes) de la derivada? Escriba 2 ejemplos de cada una.

6. ¿Qué es la regla de los 4 pasos? Escriba 3 ejemplos.

7. ¿Qué es la regla de la cadena? Escriba 2 ejemplos.

8. Averiguar ¿En que se aplica el concepto de derivada en la vida diaria (cotidiana)?

9. Consultar las derivadas de las funciones trigonométricas.

10. Consultar la derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Desarrollo.

1.

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

2. El cálculo hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular o contar. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

3. El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f ( x ), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x,de un valor x 0 a x 0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y 0 = f ( x 0 ) a y 0 + k = f ( x 0 + h ), por lo que k = f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x 0 a x 0 + h. La gráfica de la función y = f ( x ) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los

puntos A = ( x 0 , y 0 ) y B = ( x 0 + h, y 0 + k ) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.

Si h tiende hacia 0, para un x 0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x 0 ; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f ( x ), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT , en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f '( x 0 ) de la función y = f ( x ) en x 0 como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

4. - La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

- La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el valor del límite, si existe del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

- La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

5. Las derivadas forman una parte importante del cálculo.

Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.

En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de la función.

Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.

Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.

Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla

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