Derivadas

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA ECONOMIA

1. INTRODUCCIÓN

Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.

Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista.

De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.

En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc.

NO hay que olvidar que se requiere con frecuencia estimar los niveles donde una función cualesquiera se maximiza (minimiza) -sea cual sea el número involucrado de variables independientes-. De nuevo el cálculo difrencial es de gran ayuda en estas situaciones. También para la búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de las funciones mediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones de Kühn-Tucker (esta última para la eventualidad en que la función objetivo que se desea optimizar esté restringida con desigualdades).

Lagrange:

Sea la función objetivo: F(x1,...,xn) s.a: g(x1,...,xn)= C. Donde g es la restricción igualada a una constante C.

f'(x1,...,xn)=tg'(x1,...,xn), donde t= un escalar que multiplica la restricción y que se simboliza con la letra griega lambda.

Kühn-Tucker:

f(x1,...,xn), s.a: g(x1,...,xn) > C, ó g(x1,...,xn) < C

Finalmente la premisa para la diferenciabilidad es la continuidad de las funciones, o sea que auellas no posean saltos. Una de las limitantes cotidianas del desempeño profesional en economía es contar siempre con funciones continuas. Suele ser repetido que los datos existentes se manifiesten en secuencia discreta o discontinua. Sin embargo estoe obstáculo no niega la validez conceptual y técnica de las aplicaciones en economía del cálculo diferencial.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

3. MARCO TEORICO

3.1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA

Las derivadas en sus distintas presentaciones ( Interpretación geométrica, Razón de cambio, variación Instantánea, etc.,) son un excelente instrumento en Economía, para toma de desiciones, optimización de resultados ( Máximos y Mínimos).

3.1.1 FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA.-

Si x es el numero de Unidades de un bien ; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por:

Y = f (x)

Donde:, en la practica x se toma siempre positivo.

Si: f’ > 0 ; la función es de oferta

Si: f < 0; La función es de Demanda.

El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.

Hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y Demanda : Respectivamente :

Y = (2008 -8x – x^2) / 16 ; y = (1 x^2)/13

Y = (208 -8x – x^2)/16  x=8 ; y = 5

Y = (1 + x^2)/13  -11,5 : y = 10.4

Se tomara únicamente la 1ra solución como punto de equilibrio, ya que : x debería ser positivo.

La pendiente de la demanda en: P(8,5)

Y = (208 -8x – x^2) /16  Y’ = ½ -x/8

Reemplazando x=8  y’(s) = -3/2 <0

La pendiente de la oferta en: P(8,5)

Y= 0 1 + x^2 / 13  y’(8) = 16/13 > 0

Por la interpretación geométrica de la Derivada, una Derivada es una Pendiente es una Razón o relación de Variación Instantánea.

Por tanto en el anterior calculo de las pendiente de las funciones de oferta y Demanda, representan las variaciones instantáneas de los Precios Unitarios (y) con respecto al numero de Unidades (x); exactamente en el instante en que: x = 8.

Tomando en Valor absoluto las Pendientes de la Demanda 3/2 ; de la Oferta 16/13, se aprecia que mayor es la variación de la demanda.

La variación de una cantidad respecto de otra puede ser descrita, mediante un concepto promedio, o un concepto margina.

El concepto Promedio , es la variación de una primera cantidad, respecto a un Intervalo limitado de la Segunda cantidad.

El concepto Marginal, es la variación de una Primera Cantidad, respecto a un intervalo tendiente a Cero de una Segunda Cantidad, es decir se trata de una variación Instantánea.

Comúnmente la primera cantidad es de un concepto Económico (Costo, Ingreso, etc.), La segunda Cantidad es el numero de unidades.

3.1.2 COSTOS

Si el numero de unidades de un bien es . x ; entonces el costo Total puede expresarse como:

A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:

COSTO PROMEDIO:

Cp = C (x) / x = y

COSTO MARGINAL:

Cm = C ‘ (x) = dy / dx

COSTO PROMEDIO MARGINAL:

Cpm = dy /dx = xC’(X) – C(x) / x^2  d/dx

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