Dimension fractal

MEDICION DE LA DIMENSION FRACTAL

Lina Marcela Cundumi Rodriguez

Camilo Bermúdez Villa

 Escuela Ambiental

Facultad de Ingeniería

Universidad de Antioquia

Septiembre de 2015

Resumen

Este informe contiene los resultados teóricos y experimentales empleados para analizar el concepto de dimensión fractal y topológica. Para llevar a cabo el objetivo se realizó un montaje experimental utilizando objetos comunes como esferas de acero y de papel, para medir sus masas y dimensiones.

En primer lugar, se arrugaron las hojas de papel cada una de diferente tamaño, y se le dieron una forma aproximadamente esférica. Analizando todos los datos obtenidos, se halla la dimensión fractal. Para las bolas de papel arrugado su valor estuvo dentro del rango esperado (2≤d≤3), y para las de acero se obtuvo un valor muy cercano a 3, lo que corrobora lo expresado en la teoría.

Introducción

El termino de dimensión fractal tiene diversas aplicaciones en el medio, solo en la naturaleza es observable cantidad de objetos fractales, copos de nieve, montañas, plantas, ramas de árboles. Esto hace que este término sea muy aplicable. Hablar de dimensión de un objeto entendiéndolo  como  longitud, es un concepto errado cuando se habla de objetos fractales, para dichos objetos se habla de dimensión fractal, entendiendo dimensión como “que tanto llena el espacio un objeto dado”.

Con este informe se pretende mostrar la forma experimental de medir tal dimensión con objetos simples, también se indica la forma de calcularlo teóricamente y  se compara  con los resultados experimentales, teniendo en cuenta  las  imprecisiones que se presentan  en las mediciones.

Marco teórico

La dimensión topológica se define como un número de coordenadas ortogonales mutuamente perpendiculares que se requieren para determinar la posición de un punto aleatorio en el espacio; así para un punto su dimensión es 0, para una línea 1, para un plano 2 y para el caso de una esfera es 3.

Cuando se habla de objetos donde se puede observar auto semejanza en toda su extensión, nos referimos a un objeto fractal. Para medir estos objetos se debe referir a su dimensión fractal (d) no a una longitud, que dice cuan densamente un objeto ocupa un espacio métrico en el cual está situado. La dimensión fractal es estrictamente mayor que la dimensión topológica y, en la mayoría de los casos no es un número entero.

Para figuras esféricas homogéneas de densidad þ, diámetro D, masa m y volumen V es fácil comprobar que:

                 (1)[pic 1]

De donde

             (2)[pic 2]

La cual al hacer la relación de los resultados, obtenemos la dimensión topológica.

Para hallar la  dimensión fractal se hace uso de la relación alometrica que se define como:

              (3)[pic 3]

Donde d  es el valor de dimensión fractal de las bolas y k (la constante de proporcionalidad entre diámetro y masa la 1/d, que llamaremos lagunaridad.

Procedimiento experimental

Lo que se hace  en primer lugar es tomar las  5 esferas de acero, cada una de tamaño diferente, se miden las masas y el diámetro de cada una ellas utilizando el calibrador y la balanza. En este caso como son esferas solidas no sacamos promedio de cada uno de los diámetros, ya que sus variaciones con casi nulas.

Se obtuvieron los siguientes datos:

Tabla 1: Datos obtenidos en el laboratorio de las esferas de acero, masa (g) y diámetro promedio (mm)

La continuación de la practica consiste en cortar pedazos de papel periódico de las siguientes medidas: 32,16, 8, 4, 2, 1  y darles una forma aproximadamente esféricas, tratando de comprimirlas lo más que se pueda. Se  la masa de cada una, se saca un promedio del diámetro y   se obtuvieron los siguientes datos.

Tabla 2: Datos obtenidos en el laboratorio de las esferas de papel, masa (g) y diámetro promedio (mm)

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