Dualidad y An´alisis de Sensibilidad
Enviado por montesjorge • 22 de Mayo de 2013 • Examen • 2.580 Palabras (11 Páginas) • 547 Visitas
Universidad de Chile
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
Departamento de Ingenier´ıa Industrial
IN34A: Clase Auxiliar
Dualidad y An´alisis de Sensibilidad
Marcel Goic F.1
1Esta es una versi´on bastante preliminar por lo que puede contar con numerosas faltas de ortograf´ıa y
errores no forzados. Si encuentran alguno favor de denunciarlo a mgoic@ing.uchile.cl
IN34A: Optimizaci´on Pag. 1
1. Una brev´ısima introducci´on.
Encontrar el ´optimo de un problema de optimizaci´on, es solo una parte del proceso de
soluci´on. Muchas veces nos interesar´a saber como var´ıa la soluci´on si var´ıa alguno de los
par´ametros del problema que frecuentemente se asumen como determin´ısticos, pero que
tienen un caracter intr´ınsicamente aleatorio. M´as especificamente nos interesar´a saber para
que rango de los par´ametros que determinan el problema sigue siendo valida la soluci´on
encontrada.
Otro aspecto interesante es el tema de dualidad. Dualidad resulta de buscar relaciones que
permitan obtener informaci´on adicional de un problema de optimizaci´on general. Esto, traducido
a PL nos conduce a relaciones primal-dual. Adem´as veremos algunos teoremas ´utiles
de dualidad y el concepto de precio sombra.
2. Acerca de Dualidad
Todo problema de optimizaci´on (primal), tiene un problema asociado (dual) con numerosas
propiedades que los relacionan y nos permiten hacer un mejor an´alisis de los problemas. A
continuaci´on se describen los resultados que se ocupar´an en la resoluci´on de los problemas.
2.1. Construcci´on del problema dual
Bastante en general, para encontrar el dual de un problema lineal:
1. Si es problema de minimizaci´on el dual ser´a de maximizaci´on y viceversa.
2. En el dual habr´a tantas variables como restricciones 2 en el primal.
3. En el dual habra tantas restricciones como variables en el primal.
4. Los coeficientes de la funci´on objetivo del dual vendr´an dados por los coeficientes del
lado derecho de las restricciones del primal.
5. Los coeficientes del lado derecho del dual vendr´an dados por los coeficientes de la
funci´on objetivo del primal.
6. Los coeficientes que acompa˜nar´an a las variable en una restriccion del dual corresponder
´an a aquellos coeficientes que acompa˜nan a la variable primal correspondiente a la
restriccion dual 3.
7. Para saber si las restricciones duales son de , = ´o , se recurre a la tabla de relaciones
primal-dual.
2Suponemos restricciones l.i
3O si se prefiere, los coeficeintes ser´an el resultado de transponer la matriz A de coeficientes
IN34A: Optimizaci´on Pag. 2
8. Para saber si las variables duales son 0, = 0 ´o 0, se recurre a tabla de relaciones
primal dual.
Relaciones Primal-Dual
Estas relaciones nos permiten pasar de un problema de primal a su dual en forma bastante
algor´ıtmica, tanto para problemas de minimizaci´on como de maximizaci´on.
PROBLEMA DE MINIMIZACI ´ON PROBLEMA DE MAXIMIZACI ´ON
Restricciones Variables
0
= Irrestricta
0
Variables Restricciones
0
Irrestricta =
0
2.2. Algunos teoremas de dualidad
Consideremos el siguiente par primal-dual:
(P) m´ın z = c · x
s.a A · x b
xi 0
(D) m´ax w = y · b
s.a At · y c
yi 0
Teorema D´ebil de Dualidad
Si ¯x e ¯y son factibles para (P) y (D) respectivamente, entonces z(¯x) w(¯y).
Teorema Fundamental de Dualidad4
Dados un par de problemas primal-dual, si uno de ellos admite soluci´on ´optima, entonces
el otro tambien la admite y los respectivos valores ´optimos son iguales.
Teorema de Holgura Complementaria
Sea
·1 ·2 · · · ·n
=
2
6664
1·
2·
...
m·
3
7775
una matriz de m filas y n columnas.
Sea el par primal-dual siguiente:
4Tambi´en conocido como teorema fuerte de dualidad
IN34A: Optimizaci´on Pag. 3
(P) m´ın z = c · x
s.a i · x bi
xi 0
(D) m´ax w = y · b
s.a j · y cj
yi 0
Sean ¯x e ¯y soluciones factibles para los problema (P) y (D) respectivamente. ¯x e ¯y son
´optimos si y solo si:
i) (i · ¯x − bi) · ¯yi = 0 i=1,...,m.
ii) (cj − ¯y · j) · ¯xj = 0 j=1,...,n.
Obs:Notar que (i · ¯x − bi) y (cj − ¯y · j) son las variable de holgura de los problemas
(P) y (D) respectivamente.
2.3. Acerca de los precios sombra
Los valores de las variables duales en el ´optimo tienen una interpretaci´on econ´omica interesante
en problemas de programaci´on lineal: Corresponde a las tasas marginales de variaci´on
del valor de la funci´on objetivo ante variaciones unitarias del lado derecho de una restricci´on.
Por este motivo se le llama precio sombra al vector de variables duales en el ´optimo.
3. Acerca de sensibilidad
Como ya se dijo, nos interesa ver como se ve afectada la soluci´on de un problema de optimizaci
´on si cambia alguno de los par´ametros del problema. En este ´ambito, podemos distinguir
2 tipos de an´alisis:
Analisis de sensibilidad: Consiste en determinar cual es el rango de variaci´on de los
par´ametros del problema de modo que la base ´optima encontrada siga siendo ´optima.
Analisis post optimal: Consiste en determinar como var´ıa la base ´optima si cambia
alguno de los par´ametros del problema.
En la presente sesi´on nos concentraremos en an´alisis de sensibilidad dejando el an´alisi post
optimal para un poco mas adelante.
Consideremos la forma estandar siguiente:
(P) m´ın z = c · x
s.a A · x = b
x ~0
IN34A: Optimizaci´on Pag. 4
Sea B la base ´optima. Nos interesa estudiar el rango de variaci´on de los parametros c y b de
modo que B siga siendo ´optima 5.
Variaci´on en el parametro b.
Buscamos el rango en el que puede tomar valores b de modo que la base B siga siendo
´optima. Para ello debemos verificar:
1. Factibilidad: xB = B−1b 0
2. Optimalidad: ¯cR = cR − cBB−1R 0
Como en la ecuaci´on 2. no hay dependencia explicita de b, no impone condiciones y
...