Ecuaciones Empiricas

Con frecuencia surge el problema de obtener una dependencia funcional entre dos o más magnitudes físicas, teniendo como base las mediciones de estas magnitudes llamados datos experimentales. Esta relación funcional toma la forma de una ecuación, que por ser construida con datos experimentales, se le denomina ecuación empírica.

Así, el movimiento de una partícula, puede ser descrito mediante una ecuación empírica que exprese la relación entre la posición y el tiempo. En este caso, tanto la posición como el tiempo pueden ser medidos y constituyen las variables dependiente e independiente, respectivamente.

En general, consideraremos a xi la variable independiente y yi la variable dependiente y la relación funcional que se que se obtiene en base a los diversos valores experimentales xi y yi, forman la ecuación empírica, la cual se expresa como:

Y =f(x)

Los pasos a seguir para obtener una ecuación empírica, en general, son:

Identificar el modelo físico y el modelo experimental.

Identificar las magnitudes físicas a relacionar.

Obtener los datos experimentales de las mediciones de las magnitudes anteriores.

Graficar los datos experimentales en papel milimetrado o mediante algún software ploteador.

Plantear la ecuación empírica que corresponda a la gráfica.

Si los puntos de la gráfica tienen un comportamiento lineal, se planteará una ecuación de la forma: y = A + Bx, y se calculan los parámetros A y B con la ayuda del método de los mínimos cuadrados (MMC) (Análisis de regresión lineal)

Si los puntos de la gráfica tienen otro tipo de comportamiento, donde el origen (0,0) pertenecen a la curva, debemos plantear una ecuación empírica de la forma de una potencia: y=Cx^n donde los parámetros a determinar son C y n. para lo cual se procede a linealizar la ecuación, aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, así:

ln⁡y=ln⁡(Cx^n )

lny=lnC+n lnx

Haciendo un cambio de variable: y* = lny, x*= lnx, A= lnC, y B = n; obtenemos la ecuación de la línea recta: y*= A + Bx* y así podemos aplicar el MMC.

METODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS:

Este método nos permite encontrar la pendiente y el intercepto de la mejor recta de ajuste, es decir aquella recta que pasa por el lugar más denso de la nube de puntos graficados.

Se plantea una ecuación empírica de la forma:

yi=A + Bxi

y para N puntos:

∑yi=AN + B∑xi…………………….1

A partir de la ecuación anterior tenemos:

∑yixi=A∑xi + B∑xi2……………….2

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2) se determinan los parámetros A y B:

A= (∑▒〖x_i^2 ∑▒y_i 〗-∑▒x_i ∑▒〖x_i y_i 〗)/(N∑▒x_i^2 -(∑▒x_i

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