Ecuaciones de segundo grado

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Ecuación general y completa de segundo grado

        Consideremos la ecuación general de segundo grado

[pic 1].

Si [pic 2], aplicamos las ecuaciones de transformación por rotación

[pic 3],   [pic 4]

tenemos

[pic 5]

[pic 6].

Si desarrollamos y agrupamos los términos semejantes, obtenemos:

[pic 7],

donde,

[pic 8]

Si la ecuación [pic 9] va a carecer de término en [pic 10], entonces [pic 11], es decir,

[pic 12].

Si [pic 13], tenemos [pic 14].  Si [pic 15], entonces [pic 16].  Como [pic 17], se sigue que [pic 18].  Por tanto, [pic 19] y [pic 20].

Discriminantes

        Consideremos la ecuación general

[pic 21].

Si los ejes coordenados se giran un ángulo [pic 22], donde [pic 23] si [pic 24] y [pic 25] si [pic 26], entonces la ecuación general

[pic 27]

se transforma en la ecuación

[pic 28],

donde,

[pic 29]

Como

[pic 30]

y

[pic 31]

entonces

[pic 32]

Si [pic 33], es decir, si [pic 34], entonces la ecuación [pic 35] representa una cónica del género parábola.  Por tanto, si [pic 36], entonces la ecuación [pic 37] representa una cónica del género parábola.

Si [pic 38], es decir, si [pic 39], entonces la ecuación [pic 40] representa una cónica del género hipérbola.  Por tanto, si [pic 41], entonces la ecuación [pic 42] representa una cónica del género hipérbola.

Si [pic 43], es decir, si [pic 44], entonces la ecuación [pic 45] representa una cónica del género elipse.  Por tanto, si [pic 46], entonces la ecuación [pic 47] representa una cónica del género elipse.

Ejercicios

1. En cada caso, determina la naturaleza de la cónica que representa la ecuación dada, y reduce la ecuación por transformación de coordenadas.  Traza el lugar geométrico, cuando exista, y todos los sistemas de ejes coordenados.

1. [pic 48]
2. [pic 49]
3. [pic 50]
4. [pic 51]
5. [pic 52]
6. [pic 53]
7. [pic 54]

...