Ecuación de Difusividad

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA EN GEOLOGÍA, MINAS, PETRÓLEOS Y AMBIENTAL

ESCUELA DE PETRÓLEOS

PRODUCCIÓN

Tema: Ecuación de Difusividad

Prof.: Ing. Cesar Ruiz

Integrantes: Galo Gaibor

Camilo Noguera

Eddy Ponce

Fecha: 2008-12-11

Curso: Cuarto

QUITO – ECUADOR

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA EL CASO DE FLUJO EN ESTADO NO CONTINUO EN TRES DIMENSIONES.

Flujo en estado no continuo.

Se presenta cuando en cualquier instante y en cualquier sitio del yacimiento, el flujo no responde inmediatamente a un cambio de la tasa de flujo, este tiempo que se tarda en responder el fluido se denomina tiempo de readaptación que para el caso de estado no continuo es diferente a cero.

El tiempo de readaptación, será una función del radio considerado y de la constante de difusividad.

Donde: K = permeabilidad

C = compresibilidad total

 = porosidad

 = viscosidad del fluido

D = constante de difusividad.

Resolución para el caso de flujo en estado no continúo

Para la deducción de esta ecuación vamos a utilizar lo siguiente: base matemática y física.

• Ley de la conservación de la masa (de la energía y del momento).

• Ley de Darcy.

• Las ecuaciones de estado.

El principio de la conservación de la masa:

Ya que se realiza un balance de masa volumétrica, cuya expresión matemática en derivadas parciales se denomina la ecuación de continuidad.

La ley de Darcy:

El movimiento de fluidos en un medio poroso es gobernado por la ecuación de Darcy, tomando en cuanta que esta ecuación funciona bien para flujo laminar.

Las ecuaciones de estado:

Establecen la relación funcional entre la densidad del fluido, la presión y la temperatura, sin embargo para nuestro estudio vamos a considerar variaciones isotérmicas ya que este movimiento de los fluidos se lo considera a nivel del yacimiento es decir que la densidad es función únicamente de la presión.

Estas ecuaciones también definen el estado físico del fluido. (líquido o gas).

PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA.

Vamos a utilizar este primer principio realizando un balance de masa volumétrica, considerando un elemento de roca porosa de forma de un paralelepípedo a través del cual esta fluyendo un fluido, y aplicamos el principio de continuidad.

Consideramos Ui = velocidad volumétrica del flujo y en nuestro caso del paralelepípedo, i = X, Y, Z, es decir, tasa de flujo sobre unidad de área (L3/T)/L2=L/T

 es la densidad del fluido (M / L3) luego el flujo de masa sobre unidad de área en dirección por ejemplo de X será:

 Ux = (M / T / L2)

Por tanto los componentes volumétricos de flujo en el elemento en las direcciones X, Y, Z los denominamos: Ux, Uy, Uz.

Estas son las tasas de flujo a través de una sección transversal es decir que la tasa de flujo de masa a través de la sección posterior del paralelepípedo en dirección de X es:

 Ux yz = masa que entra

Sistema de flujo en coordenadas cartesianas

= masa que entra

= masa que sale.

Donde ( Ux) es el cambio de flujo de masa volumétrica dentro del elemento poroso.

Luego la tasa neta de flujo de masa volumétrica en la dirección de X será: masa que entra menos masa que sale.

Expresiones similares se pueden escribir para las direcciones Y, Z.

Ahora como el flujo en estado no continuo el tiempo juega un papel primordial, consideremos en el anterior balance de masa volumétrica el tiempo o instante de observación.

= masa que entra en un instante t.

= masa que sale en un instante t.

Luego la masa volumétrica que permanece en el elemento poroso en un instante t será:

Si multiplicamos y dividimos por x el segundo miembro de la ecuación:

Si hacemos igual cosa para las direcciones Y, Z la masa volumétrica total acumulada en el elemento poroso en un determinado instante t será la suma de las masas volumétricas en cada una de las direcciones:

(A)

También podemos expresar de otra forma la masa volumétrica total acumulada en el elemento poroso en cualquier tiempo t en donde se aloja la masa volumétrica de densidad .

Y para un tiempo (t + t)

Por lo tanto la cantidad de masa volumétrica acumulada durante un instante t será: La cantidad de masa volumétrica en el tiempo (t + t) menos la cantidad de masa volumétrica en el tiempo t:

Asumiendo que las dimensiones del elemento poroso no varían se puede escribir:

(B)

Las ecuaciones (A) y (B) representan la acumulación de la masa volumétrica en el elemento poroso durante un instante t por lo que podemos decir que A = B.

Llevando a los límites cuando x, y, z tienden a cero:

(C)

Esta es la ecuación de continuidad en coordenadas ortogonales para flujo monofásico a través de un medio poroso.

ECUACIÓN DE DARCY

Ahora introduzcamos el segundo principio físico matemático que es la ecuación de Darcy.

Reemplazamos estos valores en la ecuación (C) o sea en la ecuación de continuidad.

(E)

ECUACIONES DE ESTADO

Ahora introduzcamos el tercer principio que son las ecuaciones de estado.

Partimos del concepto de compresibilidad:

En función de la densidad puede escribirse:

tienen tangente positiva por lo tanto la ecuación tiene signo positivo.

(D)

La ecuación (D) es la ecuación de estado para un fluido de compresibilidad constante.

El factor de compresibilidad varía únicamente con la presión y se mantiene constante dentro de un determinado intervalo de presión.

La ecuación (D) considerando cada dirección de flujo se puede escribir:

Ecuaciones (F)

Ahora realizando las derivadas indicadas en la ecuación (E) cuya forma corresponde:

...