ECUACION DE LA DIFUSIVIDAD

BASES MATEMATICAS PARA EL ANALISIS DE PRUEBAS DE PRESIONES

Ecuaciones básicas:

Conservación de la Masa

Conservación de la Energía

Conservación del Momento

Ecuaciones de Transporte. Ley de Darcy

Condiciones de Equilibrio

Ecuaciones de Estado y propiedades de los fluidos y de las rocas.

Al aplicar un balance de masa sobre un elemento finito de geometría determinada se obtiene la ecuación de continuidad:

1/r ∂/∂r (rpvr) = (∂(∅p))/∂t (2-1)

La Ley de Darcy es:

V_(r )=-k/μ ∂p/∂r (2-2)

Sustituyendo la ecuación (2-2) en (2-1) tenemos:

1/r ∂/∂r [ rp k/μ ∂p/∂r] = (∂(∅p))/∂t (2-3)

Consideremos fluido de compresibilidad constante en la ecuación de estado:

c=-1/v (∂v/∂p)t = 1/p (∂p/∂p)t (2-4)

Si c es una constante, entonces:

c (ρ-ρ_sc=In ρ/ρ_sc ) (2-5)

Pongamos la ecuación (2-3) en función de ρ. Para esto, sustituimos ∂ρ/∂r y operando en el 2do miembro de la ecuación (2-3) obtenemos:

∂(∅ρ)/∂t= (∅∂ρ)/c∂t (⏟(c+c)┬(c D) ) (2-6)

Y si k y μ son constantes:

(∂^2 ρ)/〖∂r〗^2 +1/r (∂ρ/∂r)+c(∂ρ/∂r)^2=〖∅μc〗_t/k (∂ρ/∂t) (2-7)

Consideremos de nuevo la ecuación (2-3), pero expresaremos ρ en función de p. Mediante un procedimiento análogo al utilizarlo para obtener la ecuación (2-7) puede escribirse la ecuación de flujo de la presión p:

(∂^2 p)/〖∂r〗^2 +1/r (∂p/∂r)+c(∂p/∂r)^2=〖∅μc〗_t/k ∂p/∂t (2-8)

Ecuación en derivadas parciales de 2do orden no lineal.

Si suponemos que los gradientes de presión son pequeños, es decir, si ∂p/∂r≈0 obtenemos:

(∂^2 p)/〖∂r〗^2 +1/r (∂p/∂r)=〖∅μc〗_t/k (∂p/∂t) (2-9)

Que es la ecuación de difusividad en términos de presión.

Consideremos ahora como fase fluyente de gas, la ecuación de estado correspondiente de:

pv=nRTz (2-10)

Siendo, n=m/M (2-11)

Entonces:

ρ=m/M=Mp/zRT (2-12)

Y por definición:

c_(p=) 1/ρ (∂ρ/∂p)_T (2-13)

Determinemos una expresión para C_T:

c_E=1/(Mp/zRT) [∂(Mp/zRT)/∂p]_T ; Donde T es una constante (2-14)

c_E=zRT/Mp M/RT [(z-dz/dp)/z^2 ] (2-15)

c_E=1/p-1/z (dz/dp) (2-16)

Si T, la temperatura es constante para un gas ideal; z=1 y además μ=μ^T=constante, entonces la ecuación (2-16) se reduce a:

c_E=1/p (2-17)

Si consideramos la ecuación continuidad:

1/(r ) ∂/∂r (〖rpv〗_r )= -∂(∅ρ)/∂t (2-1)

Sustituyendo Vr dada por la Ley de Darcy, y ρ dada por la ecuación (2-12) obtenemos después de derivar, simplificar y considerar como variable dependiente el factor ρ^2:

(∂^2 p^2)/(∂r^2 )+1/r (〖∂p〗^2/∂r)-d[In(μz) ]/〖dp〗^2 (〖∂p〗^2/∂r)=〖∅μc〗_t/k (〖∂p〗^2/∂t) (2-18)

Ecuación en derivadas parciales de 2do orden, ecuación no lineal. Si los gradientes son pequeños la ecuación (2-18) puede escribirse:

(∂^2 p^2)/〖∂r〗^2 +1/r (〖∂p〗^2/∂r)=〖∅μc〗_t/k (〖∂p〗^2/∂t) (2-19)

Ecuación que aun es no lineal porque, ct =ct (p)

En el caso del gas ideal:

Z=1; μ=μ(T) y ambas propiedades son constantes. Luego:

dIn(μz)/〖dp〗^2 =0

Y la ecuación (2-18) se reduce a la ecuación (2-19) sin necesidad de hacer la suposición de que los gradientes son pequeños. Sin embargo, aun la ecuación (2-19) es no lineal debido a que:

c_z≈c_ ≈1/p (funcion de p)

Uso de la función m(p):

m(p)=∫_fb^f▒〖2p/μz dp〗 (2-20)

Donde:

(∂m(p))/∂r=(∂m(p))/∂p (∂p/∂r)=∂p/μz (∂p/∂r)=〖∂p〗^2/∂r (1/μz) (2-21)

(∂m(p))/∂t=(∂m(p))/∂p (∂p/∂t)=∂p/μz (∂p/∂t)=〖∂p〗^2/∂t

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