Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

La razón de porque escogimos ese tipo de casos, es que en física cuando se estudia una trayectoria de un cuerpo en movimiento, este comúnmente no lo hace en una línea recta si no mediante de una curva, y en la matemática las curvas se representa por ecuaciones cuadráticas

Se lanza una pelota hacia arriba, desde 3m sobre el suelo, con una velocidad de 14 m/s. ¿Cuándo toca el suelo?

Utiliznado la siguiente ecuación:

[pic 1]

Ignorando la resistencia del aire, podemos calcular su altura sumando estas tres cosas:
(Nota: t es el tiempo en segundos)

Súmalos y se tiene que la altura h en cualquier momento t es:

h = 3 + 14t − 5t2

Esta es una ecuación cuadrática completa

Y la pelota golpeará el suelo cuando la altura sea cero:

3 + 14t − 5t2 = 0

En "Forma Estándar" se ve así:

−5t2 + 14t + 3 = 0

Se ve aún mejor cuando multiplicamos todos los términos por −1:

5t2 − 14t − 3 = 0

Vamos a resolverla...

Hay muchas maneras de resolverla, aquí la factorizaremos usando el método "Encuentra dos números que se multiplican para dar a×c, y que sumados dan b" que se explica en Factorizando Cuadráticas:

a×c = −15, y b = −14.

Los factores de −15 son: −15, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 15

Al probar algunas combinaciones, encontramos que −15 y 1 funcionan (−15×1 = −15, y −15+1 = −14)

Reescribe lo de en medio con −15 y 1:        5t2 − 15t + t − 3 = 0

Factoriza los primeros dos y los últimos dos:5t(t − 3)+1(t − 3)=0

El factor común es (t − 3) :(5t + 1) (t − 3) = 0

Y las dos soluciones son: 5t + 1 = 0 o t − 3 = 0

t = −0,2  o  t = 3

"t = −0,2" es un tiempo negativo, imposible en nuestro caso.

Entonces "t = 3" es la respuesta que queremos:

Aquí está la gráfica de la Parábola h = −5t2 + 14t + 3

Te muestra la altura de la pelota frente al tiempo.

Algunos puntos interesantes:

(0,3) Cuando t = 0 (al inicio) la pelota está a 3 m

(−0,2,0) dice que −0,2 segundos ANTES de tirar la pelota estaba a nivel del suelo. ¡Esto nunca sucedió! Entonces nuestro sentido común dice ignorarlo.

(3,0) dice que a los 3 segundos la pelota está al nivel del suelo.

Observa también que la pelota alcanza casi 13 metros de altura.

[pic 2]

Nota: ¡Puedes encontrar exactamente dónde está el punto superior!

El método se explica en Graficando Ecuaciones Cuadráticas, y tiene dos pasos:

Encuentra dónde (a lo largo del eje horizontal) se produce el punto superior usando −b/2a:

• t = −b/2a = −(−14)/(2 × 5) = 14/10 = 1,4 segundos

Luego encuentra la altura usando ese valor (1,4)

• h = −5t2 + 14t + 3 = −5(1,4)2 + 14 × 1,4 + 3 = 12,8 metros

Entonces la pelota alcanza el punto más alto de 12,8 metros después de 1,4

Conclusión

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