Ejercicios de Complejos

Ejercicio 1

 Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:

1. -3+5i; b) 3-2i; c) 1-2i; d) -2+i; e) 6; f) 5i; g) 3; h) -4i.

Ejercicio 2

Indica cuáles de los siguientes números son reales, imaginarios o complejos:

 a) -9; b) -3i; c) -3i+1; d) [pic 2]+(1/2)i; e) (1/3)i; f) [pic 3]; g) -2i; h) (1+3i).

 Sol: R, I, C, C, I, R, I, C

Ejercicio 3

 Representa gráficamente los afijos de todos los números complejos z tales que al sumarlos con su respectivo conjugado, se obtenga dos; es decir: z+z'=2.

Sol: recta x=1

Ejercicio 4

 Escribe en forma trigonométrica y polar los complejos: a) 4+3i; b) -1+i; c) 5-12i.

         Sol: a)571,56º; b) [pic 4]135º; c) 13292,6º

Ejercicio 4

 Escribe en las formas binómica y trigonométrica los números complejos:

a) 3π/3; b) 3135º; c) 1270º.

 Sol: a) 3(cos60+isen60)=3/2+3[pic 5]/2 i; b) 3(cos135+isen135)=-3[pic 6]/2+3[pic 7]/2 i; c) cos270+isen270=-i

Ejercicio 5

 Calcula tres argumentos del número complejo 1-i.

 Sol: a) 315º, 675º; 1035º

Ejercicio 6

 ¿Cuáles son el módulo y el argumento del conjugado de un número complejo cualquiera rα.

Sol: r360-α.

Ejercicio 7

 Escribe en forma módulo-argumental (polar) los números complejos: a) 6-8i; b) [pic 8]+[pic 9]i; c) -3+4i.

 Sol: a) 10306,9º; b) 469,3º; c) 5126,9º

Ejercicio 8

 El módulo de un número complejo es 5 y su argumento 600º. Escribe el número en forma trigonométrica. Sol: 5(cos240+isen240)

Ejercicio 9

 Averigua como debe ser un complejo rα para que sea: a) un número real; b) un número imaginario puro.

 Sol: a) α=0+kπ; b) α=90+kπ

Ejercicio 10

 Hallar el módulo y el argumento de:

1. (1+i)/(1-i). b) (1+i)(2i).

        Sol: a) 190; b) [pic 10]135

Ejercicio 11

 ¿Qué figura representan en el plano los puntos que tienen de coordenadas polares (3α), α variable? ¿y los que tienen (r90º), r variable?.

        Sol: a) circunferenciade centro (0,0) y radio 3; b) semieje OY positivo

Ejercicio 12

Dado z = rα. Expresar en forma polar: a) -z, b) z-1, c) el conjugado de z, d) z3.

        Sol: a) r180+α; b) (1/r)-α; c) r-α; d) r33α

Ejercicio 13

 ¿Cómo es gráficamente el inverso de un número complejo?. ¿Cuál es su módulo?. ¿Y su argumento?.

Sol: a) perpendicular; b) módulo=(1/r), argumento=-α

Ejercicio 14

 Simplifica las expresiones:

        a) [pic 11]        b) [pic 12]        c) [pic 13]

        Sol: a) 130º; b) 230º; c) 1330

Ejercicio 15

 Resolver las ecuación: x3-27=0.

        Sol: a) x=3; x=3120; x=3240;

Ejercicio 16

 Efectúa las siguientes operaciones:

1. 690º[pic 14]15º. b) 8120º/4π/2.

        Sol: a) 375, b) 230

Ejercicio 18

 Halla [pic 15]

        Sol: 1

Ejercicio 19

Halla el módulo de los complejos:

1. z=-2i(1+i)(-2-2i)(3);  b) [pic 16] c) [pic 17]

        Sol: a) 24; b) 5/2 c) 1

Ejercicio 20

 Resuelve las ecuaciones: a) x2-2x+5=0; b) x2-6x+13=0; c) x2-4x+5=0.

        Sol: a) 12i, 1-2i; b) 32i, 3-2i; c) 2I, 2-i

Ejercicio 21

 Encuentra los puntos de intersección de la circunferencia x2+y2=2 y la recta y=x. ¿Son soluciones reales o imaginarias?.

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