Ejercicios de Números Complejos

Ejercicios de Números Complejos

1. ¿Qué es un número complejo?
2. ¿Cómo se define la unidad imaginaria?
3. Si un número complejo z está dado como z = (α, β), cómo se escribe en términos de la unidad imaginaria j?
4. Sea  z = 3 – 4j.  Determine su inverso aditivo e inverso multiplicativo.
5. ¿Qué relación geométrica existe entre un complejo y su conjugado?
6. Sean z1 =  ;  z2 = ; z3 =  . Sin cambiar a decimales, calcular:[pic 1][pic 2][pic 3]

  ,  [pic 4][pic 5]

b)       [pic 6][pic 7]

c)  ,      6 z1z2,         ,                   [pic 8][pic 9][pic 10]

d)[pic 11]

1. Realice cada una de las operaciones que se indican y exprese el resultado en la forma a + ib

1. (3 – 4i)(6 + 2i)        b) (1 – i)+ (2 + 4i)        c) i(6 – 2i)         d) 1/i

      e)   f)                  g)     h) i3 – 4i + 2[pic 12][pic 13][pic 14]

      i) i4 – 1                j)  i20  + 1                k)  2i13 – i

       8. Realice las operaciones siguientes, paso a paso,  sin convertir a decimales. Al final indique el valor de las partes real e imaginaria de cada resultado.

a) ( ½ + i/3) + (-1/4 - 2i)                  b)  [pic 15]

c)                  d)   [pic 16][pic 17]

9.  Determine el número z que satisface la ecuación

        (-1 – 2i)(z – 3i) = 4i

10. Un complejo z está dado en forma polar por z = r[cosθ + i sen θ], r es la distancia de z al origen y θ es el ángulo que forma el vector que va del origen a z, con la parte positiva del eje real. ¿Cuál es la distancia de  al origen? ¿Cuál es el ángulo que hace el vector que va del origen a ?  Escriba la forma polar de .[pic 18][pic 19][pic 20]

11. Sea z = a + ib. Determine el valor de las siguientes expresiones que deberán quedar en términos de a y b

1.          b) Re(2z - 3           c) [pic 21][pic 22][pic 23]

    12.  Describa, geométricamente, al conjunto de puntos que satisfacen la ecuación dada

1.       b)            c)  Im(z - i) = Re(z + 1)[pic 24][pic 25]

      d)     = 9[pic 26]

1. Localice  los siguientes complejos en el plano; escriba su forma polar y exponencial, expresando, primero, el ángulo en grados y después, en radianes.

1. z1 = 3,         z2 = -3j        z3 = -1 + 3j        z4 = 5 + 6j        z5 = - 4 – 4j         z6 = 2 – 5j

1. Tomando en cuenta los resultados del inciso anterior escriba la forma polar de .[pic 27]

1. Use la forma polar obtenida en los incisos anteriores para calcular:

,     z4 ,     ,    ,     ,     [pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

1. Obtenga la forma polar de los siguientes complejos:

1.  [pic 34]
2. Escribir la forma exponencial de los complejos dados en el inciso anteriór
3. Calcule las raíces que se indican y localícelas en el plano complejo. En cada caso, indique la distancia de las raíces  al origen y el ángulo que existe entre raíces consecutivas.

Nota: Por medio de segmentos de recta una las raíces consecutivas y observe que construye un polígono regular.

 [pic 35]

1. Determine todas las raíces de cada una de las siguientes ecuaciones:

     z2  + 1 – j = 0,     z2 + 2z + 2 = 0,    z4 – 16 = 0,   z2 + j = 0

1. Calcule  [pic 36]

Sistemas de Ecuaciones lineales, Matrices y Determinantes

1. ¿Cuándo se dice que un sistema de ecuaciones lineal es homogéneo?
2. Escriba un ejemplo de 4 ecuaciones con 3 incógnitas lineal y homogéneo
3. ¿Qué significa que un sistema de ecuaciones lineal sea incompatible?
4. ¿Qué significa que un sistema de ecuaciones lineal sea compatible?
5. Cuando un sistema de ecuaciones es compatible, ¿qué casos se pueden presentar?
6. ¿Porque se asegura que cualquier sistema de ecuaciones lineales homogéneo es compatible?
7. Escriba las operaciones que definen las transformaciones elementales en una matriz
8. Recuerde que en el método de Gauss se aplican transformaciones elementales sólo sobre renglones

1. x + 2y – 3z = 9                b) x – 3y – 2z = 0

      2x – y + z = 0                            -x + 2y + z = 0

       4x – y + z = 4                      2x + 4y + 6z = 0

1. 2r + s = 3                        d) w + x + 2y + z = 1

4r + s = 7                            w – x – y + z = 0

2r + 5s = -1                                  x + y       = -1

                                   w + x      + z = 2

Soluciones del libro

1. (2, 5, 1)
2. (c, c, -c)   donde c es cualquier real
3. (2, -1)
4. Incompatible

1. ¿Qué es una matriz?, ¿Cuáles son los requisitos para que esté definida la suma de dos matrices A y B?,
2. ¿Cuándo está definido el producto de dos matrices A y B?
3. Suponga que una matriz A es de mxn  y B es de nxk. La matriz C = AB de cuánto por cuánto es?

1. Suponga que A es una matriz de 3x2, B de 4x3 y C de 4x2. Indique si las siguientes operaciones están definidas y justifique su respuesta.

1. AB                b) BA                c) B + C        d) BA + C

1. Sean

[pic 37]

[pic 38]

          Calcule las matrices indicadas si es posible; de otra manera, indique la razón que

           lo impide.,

1. A + 2D,          3D – 2A,          B – C,          B – CT,         AB,        BD
2. D + BC        BTB                E(AF)                F(DF)                BTCT – (CB)T
3. DA – AD         A3                (I2 – D)2 

Nota.  I2 es la matriz identidad de 2x2

1. Sean , calcule AB. ¿Qué conclusión puede dar a partir del resultado obtenido?[pic 39]

1. Si   , resuélvase cada una de las siguientes ecuaciones[pic 40]

1. AX = B,                 b) BX = A        c) AX = C        d) BX = C

1. Una fábrica elabora capacitores, resistencias y bobinas y los envía a dos depósitos para su almacenamiento. El número de unidades de cada producto enviado a cada depósito está dado por la matriz

        [pic 41]

(donde aij es el número de unidades del producto i enviado al depósito j  y los

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