Ejercicios de Métodos estadísticos para la econometría

Ejercicios de Métodos estadísticos para la econometría

1. ¿Por qué es útil la Inferencia Estadística para la ciencia económica?

La inferencia estadística es el conjunto de métodos que permiten inducir, a través de una muestra, el comportamiento de una determinada población. La inferencia estadística estudia entonces, como sacar conclusiones sobre los parámetros de población de datos.

En la ciencia económica el estudio de un fenómeno económico consiste en el manejo de datos numéricos. Para su interpretación y valoración es preciso emplear los métodos estadísticos. Los estudios que se destacan en la ciencia económica pueden ser: el índice de precios al consumo, el análisis de mercados, la estimación de la demanda y las series temporales. Si tratásemos de realizar dichos estudios analizando exhaustivamente la población, esto resultaría muy costoso y en algunas ocasiones imposible. Por tanto, recurrimos a la inferencia estadística para realizar los estudios mencionados a partir de una muestra.

1. En el contexto de la Teoría de la Probabilidad, defina los siguientes conceptos:

1. Experimento aleatorio y espacio muestral

Experimento aleatorio. - Un experimento o fenómeno se dice aleatorio (en contraposición a determinista) cuando verifica las siguientes tres condiciones:

i) Se conocen previamente todos los posibles resultados asociados al experimento.

ii) Puede ser repetido bajo idénticas condiciones.

iii) En cualquier realización del experimento, el resultado no se conoce a priori pero

existe una perceptible regularidad de ocurrencia asociada con estos resultados.

Un ejemplo simple es el lanzamiento de un dado. Otros ejemplos vienen dados por las condiciones meteorológicas para el día de mañana, el sorteo de la Lotería de Navidad, la elección de un asalariado al azar en la ciudad de Málaga para observar sus ingresos o el lanzamiento de un nuevo producto para observar su acogida entre los consumidores.

Un espacio muestral se dice discreto cuando está formado por un conjunto finito o infinito numerable de elementos. Se dice continuo si el conjunto de resultados del experimento es infinito no numerable.

Espacio muestral. - El espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio ξ es el conjunto de todos los posibles resultados ei que pueden obtenerse al

realizar dicho experimento. E = {e1 ,e2 ,e3 ,...}. Así, al experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados podemos asociarle el conjunto E = {(1 1), (1 2), (1 3), ...} con 36 elementos.

1. Suceso aleatorio y Álgebra de sucesos

Suceso aleatorio. -  Un suceso es toda proposición lógica que, una vez realizado el experimento aleatorio, se puede decir si se verifica o no.

En general, a todo suceso A asociado al experimento aleatorio ξ se le puede hacer

corresponder el subconjunto de E formado por todos los elementos (resultados) que hacen que el suceso se verifique (equivalencia entre sucesos y subconjuntos). Así, diremos que el suceso A ha ocurrido si al realizar el experimento se obtiene un resultado ei ∈ A.

Por ejemplo, el suceso “sacar par” en el lanzamiento de un dado se corresponde con el subconjunto de resultados A = {2,4,6}, que se verifica cuando el resultado del lanzamiento es e1 =2, e2 =4 ó e3 =6. Definición 1.5 (Tipos de sucesos). Podemos distinguir los siguientes tipos de sucesos:

∙ Suceso elemental: es el suceso que consta de un único elemento (subconjunto unitario de E).

∙ Suceso compuesto: es el suceso que consta de dos o más elementos. Es, por tanto,

un subconjunto no unitario de E.

∙ Suceso seguro o universal: es aquél que ocurre siempre, de manera que se

identifica con el conjunto E de todos los resultados experimentales.

∙ Suceso imposible: es aquél que no ocurre nunca y se identifica con un conjunto sin

elementos (conjunto vacío ∅ ).

Algebra de sucesos. -  

El conjunto de todos los sucesos de un espacio muestral, junto con las operaciones unión (U) e intersección (∩), cumple una serie de propiedades que lo dotan de una estructura matemática conocida como álgebra de Boole.

Definición 1.11 (álgebra de Boole). Un álgebra de Boole, que simbolizaremos por la letra A, es una colección de subconjuntos del espacio muestral discreto E que cumple las siguientes condiciones:

a) Cerrada respecto a la unión: Si A y B son sucesos (subconjuntos) que pertenecen al álgebra, entonces también pertenece su unión.

b) Cerrada respecto a la complementación: Si A pertenece al álgebra, también pertenece su complementario, Ac

c) El espacio muestral E pertenece al álgebra.

Dada la condición b) y que Ec = ∅, se tiene que el conjunto vacío ∅ también pertenece al álgebra. De las propiedades a) y b) se deduce también que el álgebra es cerrada respecto a la intersección, por aplicación de las leyes de De Morgan.

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