Ejercicios propuestos de matemática

Ejercicios Resueltos:

1- Un granjero dispone de 110 hectáreas de terreno, que puede cultivar con tomate y lechuga. Cada hectárea cosechada de tomate le supone un beneficio de $50. Los beneficios de la venta de lechugas de una hectárea son de $80. La cosecha de una hectárea de tomate consume 4 horas de trabajo, y recoger las lechugas de una hectárea de terreno supone 8 horas. El granjero solo dispone de unas 720 horas de trabajo. Finalmente, sólo 80 de las hectáreas del terreno son aptas para el cultivo del tomate.

-¿Cuántas hectáreas de cebada y de lechuga debe sembrar el granjero para maximizar su beneficio?

Aplicando el Algoritmo del método gráfico:

1- Modelación matemática del problema.

 Variables de Decisión:

X1: cantidad de hectáreas de tomate a sembrar.

X2: cantidad de hectáreas de lechuga a sembrar.

CNN (condiciones de no negatividad)

X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

 Restricciones

R1: X1 + X2 ≤ 110 disponibilidad de hectáreas de tierra

R2: 4X1 + 8X2 ≤ 720 disponibilidad de horas laborables

R3: X1 ≤ 80 disponibilidad de hectáreas de tierra para el cultivo de tomate

 Función Objetivo

Max G = 50X1 + 80X2

2- Graficar las restricciones del problema en un eje de coordenadas cartesiano.

3- Determinar el área de soluciones factibles.

Como se puede apreciar en el gráfico, el área sombreada constituye el conjunto de soluciones posibles para este problema. Todos los puntos de dicha área cumplen con las restricciones, en el próximo paso se buscará cuál de ellas es la solución óptima.

4- Determinar la solución óptima.

Recordemos que la solución óptima es una de las soluciones factibles: A, B, C o D.

Punto Solución (X1; X2) Max G = 50X1 + 80X2

D (0; 90) 2700

C (40; 70) 7600

B (80; 30) 6400

A (80; 0) 4000

Para este caso se decidió comenzar por el punto D (0; 90) ya que la variable X2 tiene mayor coeficiente de ganancia unitario, por lo que se supone que se encontrará la solución óptima más rápidamente si se comienza por este punto. Nótese que la evaluación del punto A en la función objetivo no es necesaria, ya que los puntos D y B, adyacentes a C, obtienen menor resultado que este último.

Según las evaluaciones realizadas en este último paso, se puede llegar a la conclusión que la mayor ganancia posible es de $7600, y que se logra si se siembran 40 hectáreas de tomate y 70 de lechuga.

2- En la fábrica de pienso de Holguín se está planeando la producción diaria de dos tipos de pienso: de gallina y de cerdo.

Por cuestiones de demanda, la cantidad de toneladas de pienso de cerdo no debe sobrepasar a la tercera parte de: la cantidad de toneladas producidas de pienso de gallina aumentada en 10. Además, se conoce que la cantidad de

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