EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO CÁTEDRAS: CÁLCULO, CÁLCULO I, MATEMÁTICAS II

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APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO CÁTEDRAS: CÁLCULO, CÁLCULO I, MATEMÁTICAS II

PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA

[pic 2]APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO CÁTEDRAS: CÁLCULO, CÁLCULO I, MATEMÁTICAS II

PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA

Licenciado en Matemáticas, Magíster en Matemáticas, Postítulo en Didáctica de la Matemática. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.

Actualmente atiende las cátedras de "Cálculo", "Cálculo I", "Cálculo II", "Cálculo III", "Matemáticas II", "Matemáticas III" de la Universidad Bernardo O´Higgins. Además, se desempeña como Coordinador de Cálculo dentro del Departamento de Matemáticas y Física.

ÍNDICE

PRESENTACIÓN        5

1. ECUACIONES        6

EJERCICIOS PROPUESTOS        11

1. FUNCIONES        12

1. EVALUAR FUNCIONES        12
2. MODELAR FUNCIONES        16
3. DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES        18
4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES        21

1. FUNCIÓN LINEAL        24

1. ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE        24
2. FÓRMULA DE PENDIENTE        24
3. FUNCIÓN CUADRÁTICA        33

1. LOGARITMOS        43

A.        PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS        43

EJERCICIOS PROPUESTOS        48

1. LÍMITES        53

EJERCICIOS PROPUESTOS        58

1. CONTINUIDAD        60

EJERCICIOS PROPUESTOS        65

1. DERIVADAS        66

1. RAZÓN DE CAMBIO        70
2. MÁXIMOS Y MÍNIMOS        71
3. OPTIMIZACIÓN        73

EJERCICIOS PROPUESTOS        81

1. CONCLUSIONES        84
2. BIBLIOGRAFÍA DE APOYO        85

PRESENTACIÓN

En mi experiencia docente, he escuchado decir muchísimas veces a diferentes estudiantes que "son malos para Matemáticas". Si usted se siente identificado con eso, yo le comento que no existe la persona que sea mala para las matemáticas, y que sólo hay una manera de aprender en este terreno: practicando permanentemente y a diario. Alguna vez leí por ahí, una entrevista a Ricardo Baeza, Premio Nacional de Ciencias Exactas 2009, quien mencionó que hay que ver a las Matemáticas (¿o la Matemática?) como un desafío y que esta disciplina es útil para cualquier ámbito de la vida. Por lo mismo, para él la clave está en “hacer ejercicios, más ejercicios y más ejercicios”.

Este material es inédito, ya que recopila diversos problemas de Matemáticas que han surgido dentro de mi labor docente. Dentro de estos problemas, algunos aparecen como propuestos (pero no resueltos), en diferentes libros de Matemáticas que usted podrá encontrar dentro de la Bibliografía ubicada al final de estos apuntes.

El propósito de este apunte es reforzar las diferentes temáticas que se estudian en los cursos de Cálculo, Cálculo I y Matemáticas II, dentro de la Facultad de Ingeniería y Administración de la Universidad Bernardo O´Higgins (UBO), presentando no sólo ejercicios resueltos, sino también propuestos. Cabe señalar que estos apuntes tiene un carácter de apoyo al estudiante y que por sí solo podría resultar insuficiente si no es complementado con otros textos de estudio y/o con lo enseñado en clases.

Estos apuntes constan de siete capítulos. El capítulo I, cuya temática es Ecuaciones, es un capítulo que si bien no forma parte de los programas antes mencionados, es un tema que resulta fundamental para el desarrollo de estos. Desde el capítulo II hasta el capítulo VII, los contenidos son presentados en el orden en los que aparecen en los programas de estudio de las diferentes carreras de Ingeniería de la UBO.

Claudio Gaete Peralta

1. ECUACIONES

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Solución: Como el discriminante de 𝑥2 + 𝑥 + 1 es negativo y el coeficiente que acompaña a 𝑥2 es positivo, tenemos que 𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 para todo número real. De esta forma, no hay restricciones previas para resolver la ecuación. Resolviendo, tenemos[pic 4]

𝑥2 + 5𝑥 + 6

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𝑥2 + 𝑥 + 1

= 1/∙ (𝑥2 + 𝑥 + 1)

𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 5𝑥 + 6 = 𝑥 + 1

4𝑥 = −5

Lo que resuelve el ejercicio

5

𝑥 = −[pic 6]

4

[pic 7]

[pic 8]

Solución: En primer lugar, debemos notar que tenemos las siguientes restricciones[pic 9][pic 10]

1

2𝑥 + 1 G 0 → 𝑥 G −[pic 11]

2

𝑥 − 2 G 0 → 𝑥 G 2

1[pic 12]

Con esto, tenemos que de existir una solución, ésta no puede ser −[pic 13]

2

ecuación. Multiplicando cruzado, tenemos que:

(2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3)

ni        . Procedamos a resolver la

2𝑥2 − 4𝑥 − 𝑥 + 2 = 2𝑥2 + 6𝑥 + 𝑥 + 3

...