El Aborto

OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)

A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

B = -5x4

-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

X -5x4

______________________________

15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base.

También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)

A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1

B = 3x - 6

4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)

X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

-24x3 + 30x2 - 12x - 6

+

12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x

_________________________

12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y es más fácil encolumnarlos según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos)

A = -9x2 + x + 5x4

B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)

______________________________

15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0

0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2

________________________________________

-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios.

En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí ordenándolos)

A = -9x2 + x + 5x4

B = 3 - 2x2

5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado)

X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)

_____________________

15x4 - 27x2 + 3x

-10x6 + 18x4 - 2x3

____________________________

-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los términos vayan saliendo en orden y no haya qué pensar en dónde ponerlos.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)

A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3

B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10

A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =

-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3

- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =

-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x

- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3

+ 12x6y4 =

-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4

Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan como están.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo)

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