El Campo de los números reales

Unidad 1

EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

Algunas definiciones sobre Teoría de Conjuntos

Dar una definición precisa de conjunto puede resultar un tanto problemático, pero la siguiente idea puede servir para tener un concepto más o menos aproximado:

Definición 1:

Un conjunto es una colección bien definida de elementos u objetos.

Para denotar conjuntos se utilizan letras mayúsculas y sus elementos se encierran entre llaves y separados por comas.

Ejemplo: Sea A el conjunto formado por las letras desde la a hasta la f. Éste se denotará por

A= { a, b, c, d , e, f }

La conexión entre un elemento y el conjunto al que pertenece se da mediante el símbolo ∈. Así, en el ejemplo dado, a ∈ A se interpreta como “el elemento a pertenece al conjunto A”. La no pertenencia de un elemento a a un conjunto A se simboliza por a ∉ A .

Definición 2:

Dos conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A es también elemento de B y cada elemento de B también lo es de A y esto se denota como A = B.

Definición 3

El conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vacío y se suele denotar por φ , o

sea,

φ  = {        }

Definición 4:

Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si cada elemento que pertenece a A, también pertenece a B.

Esta característica se denota mediante el símbolo ⊆ , o sea, A ⊆ B.

Si además existe algún elemento en B que no pertenezca a A, diremos que A es un subconjunto propio de B lo cual se denota como A ⊂ B .

Una característica muy importante que se da entre conjuntos es la de conjuntos equivalentes la cual se puede explicar de la siguiente forma; Si los elementos de un cierto conjunto se corresponden con los de un segundo conjunto de tal modo que cada elemento de cada conjunto tenga uno, y solo uno, asociado en el otro conjunto, se dice que existe una correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos.

Definición 5:

Dos conjuntos A y B cuyos elementos se pueden poner en una correspondencia uno a uno, se dice que son equivalentes y se denota por A ≈ B .

Un conjunto de números que ya es conocido por nosotros desde la educación primaria, es el conjunto de los números naturales el cual se denota por N = {1, 2, 3, 4, . . .} .

Se dice que  N es un conjunto infinito ya que tiene una infinidad de elementos.

Cualquier subconjunto de N que empiece con el número 1 y cuyo elemento final sea un número

k sin omitir ningún número menor que k, se denomina subconjunto estándar de N . Ejemplo: El conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7 } es un subconjunto estándar de N .

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