Campo De Los Numeros Reales

CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

Al "construir" la matemática, los números naturales, son una clase de equivalencia de conjuntos coordinables. Los números enteros son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números naturales. Los números racionales son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números enteros.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que NO pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.

De este modo ya pueden definirse los números reales que surgen de la unión de lo que son los conjuntos de números naturales, enteros, irracionales y racionales.

Los números reales son llamados campo de los números reales. Esto es porque son un grupo abeliano, es decir poseen la ley de cerradura, la conmutativa, asociativa, distributiva y poseen elementos neutros e inversos. Todos estos elementos hacen que los números reales sean un campo.

Números naturales N

Los números naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los números naturales por N; así que N={1,2,3,…}

Nótense las relaciones siguientes entre los anteriores sistemas de números:

N⊂Z⊂Q⊂R

Los números naturales son cerrados respecto a la adición y a la multiplicación solamente. La diferencia y el cociente de dos números naturales no es necesariamente un número natural.

Los números primos son los naturales p, excluido el 1, que solo son divisibles por 1 y por el mismo número p. He aquí los primeros primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,…

Números enteros Z

Los enteros son los números reales …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…

Se denotan por el símbolo Z y se pueden escribir como Z={…,−2,−1,0,1,2,…}

Una propiedad importante de los números enteros es que son cerrados respecto a las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, es decir, la suma, la resta y la multiplicación de dos números enteros da otro número entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por ejemplo 3 y 7, no necesariamente es un entero. Así, la operación división no es cerrada respecto a los números enteros.

Números racionales Q

Los números racionales son los reales que pueden ser expresados como razón de dos enteros. Se denota el conjunto de los números racionales por Q, así que

Q={pq | p,q∈Z}

Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo, 5=51; por tanto, Z es un subconjunto de Q.

Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, sino también de la división (excepto por el 0).

Números Irracionales I

Los números irracionales son los reales que no son racionales, es decir, los números reales que no pueden ser expresados por el cociente de dos números enteros. Obsérvese que el conjunto de números irracionales es el complemento del conjunto de números racionales. Así, pues, se tiene que

R=Q∪I

Algún ejemplo de

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