El campo de los números reales

Modulo I : EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES.

El campo de los números reales puede ser descrito por un conjunto de axiomas con los cuales podemos conocer sus propiedades y operaciones de suma y multiplicación.

P/q q≠0

La recta real la representamos por:

Propiedades de las operaciones suma (+ ) y multiplicación ( • )

Sean a y b dos números reales cualesquiera entonces, existe 1 y sólo 1 número real denotado a+b llamado suma y existe 1 y sólo 1 número real ab llamado producto.

AXIOMA DE CERRADURA.

Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces

a+b = c y ab = d.

Ejemplos particulares:

2+3 = 5

4(5) = 20

AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD.

Si a, b y c son números reales cualesquiera entonces:

a+(b+c) = (a+b)+c ; (ab)c = a(bc)

Ejemplos particulares:

3+(4+5) = (3+4)+5 (3*7)8 = 3(7*8)

AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD.

Si a y b son números reales cualesquiera entonces

a+b = b+a ab = ba

2+3 = 3+2 (5)4 = (4)5

AXIOMA DEL IDÉNTICO.

Si a es un número real cualesquiera y existe un número 0, llamado (cero) entonces

a+0 = a

Y si existe un número 1 llamado (uno ) entonces

a•1 = a

Ejemplos particulares:

5+0 = 0 (6)1 = 6

AXIOMA DEL INVERSO ADITIVO e INVERSO MULTIPLICATIVO

Si a es un número real cualesquiera entonces,

a) Existe un número cualesquiera llamado (–a) tal que a+(-a) = 0 entonces ( -a) es el inverso aditivo y

b) Existe un número llamado (1/a) tal que a(1/a) =1 entonces (1/a) es el inverso multiplicativo.

Ejemplos particulares

5-5 = 0 (6)1/6 = 1.

AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD.

Existen números reales a, b y c tales que (a+b)c = ac + bc

Ejemplo particular

(4+7)6 = (4)6 + 7(6)

AXIOMA DE ORDEN.

Sea R un conjunto de números reales que satisface los tres axiomas de orden siguientes:

i) Si a y b pertenecen a R positivo, entonces a + b y ab pertenecen a R.

ii) Para todo a ≠ 0 ó a pertenece a R positivo o – a pertenece a R positivo pero no ambos.

iii) 0 no pertenece a R positivo

Ejemplos

3+4=7 ( la suma de 2 números positivos es positiva).

5(2) = 10 ( El producto de dos números positivos es positivo )

DEFINICION.

Si a es numero negativo, sea (- a), entonces - (- a) es positiva.

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