Números reales

Números reales

Como ves el conjunto de los números reales es la colección de números que hemos usado durante muchos años. En los cursos de álgebra elemental se comenzó con un subconjunto de los número reales, el conjunto de los números naturales, n = 1,2,3,... y de esta manera fuimos utilizado los números enteros positivos y negativos, números racionales, y números irracionales.

Es conveniente estudiar algunas propiedades de estos números, que nos son más que axiomas; en donde estos axiomas son propiedades que se consideran evidentes, es decir, que no necesitan justificarse.

Axiomas para la adición de números reales

• Cerradura.- si a  r y b  r , entonces a + b  r

• Asociativa.- si a, b, c  r , entonces ( a + b) + c = a + (b + c)

• Conmutativa.- si a, b  r, entonces a + b = b + a

• Elemento neutro aditivo.- existe un número real 0  r tal que a + 0 = 0 + a = a para cualquier a  r

• Inverso aditivo.- para cada número real a  r existe un número denotado por -a tal que a + (-a) = (-a) + a = 0. Al número -a se le denomina el 2inverso aditivo” de a

Axiomas para la multiplicación de números reales

• Cerradura.- si a, b  r, entonces a • b  r

• Asociativa.- sí a, b, c  r, entonces ( a • b) c = a ( b • c)

• Conmutativa.- sí a, b  r, entonces a • b = b • a

• Elemento neutro de la multiplicación.- existe un número real 1  r, tal que a • 1 = 1 • a = a

• Inverso multiplicativo.- para cada número real a  0 existe un número real denotado por a –1 tal que

A • a-1 = a-1 • a = 1

al número a –1 se le denomina “inverso multiplicativo” de a

Por ultimo, existe un axioma que combina las operaciones de adición y multiplicación.

• Distributiva.- sí a, b, c son números reales cualesquiera a • ( b + c ) = a • b + a • c

• Suma y producto: si a y b son números reales cualesquier, existe uno y solo un numero real denotado por a + b, llamado su suma, y existe uno y solo un numero real denotado por a b (a x b o a . b ) llamado producto.

• Leyes conmutativa: si a y b son números reales cualesquier: a + b = b + a ;

• a b = b a

• Leyes asociativas: si a, b y c son números reales cualesquier:

a +( b + c) = ( a + b )+c ; a( b c) = ( a b) c

• Ley distributiva: si a, b y c son números reales cualesquier:

a ( b + c) = a b + a c

Existen dos números reales diferentes 0 y 1 tales que para todo número real a

a + 0 = a y a . 1= a

Todo número real a tiene un negativo denotado por – a tal que:

a + (-a) = 0

Todo número real a ≠ 0 tiene reciproco tal que:

a . = 1

Si a y b son números reales cualesquier la diferencia entre a y b denota por a – b, esta definida por: a – b = a . 1/b

Si a es cualquier núm. real y b es cualquier número real excepto 0, el cociente de a y b esta definido por:

Para poder decir de un número real es mayor(o menor) que otro, introducimos el concepto de que un número real sea positivo y una relación de orden.

Axioma de orden: en el conjunto de números reales existe un subconjunto llamado los números positivos tales que:

* si a es cualquier número real, exactamente una de estas tres afirmaciones se cumple: a = 0; a es positivo; -a es positivo.

** la suma de dos números positivos es positivo.

*** el producto de dos números positivos es positivo.

El número real a es negativo si y solo si –a es positivo.

Ejemplo

...