El Numero Imaginario

EL NÚMERO IMAGINARIO

En el siglo XVI Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas.

A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i (por imaginario).

Euler

Kaspar Wessel dio una explicación a la raíz cuadrada de –1.

Basta suponer un triángulo ABC isósceles en A, situado sobre unos ejes de coordenadas. Aplicando el teorema de la altura

Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand fue utilizada más tarde por Carl Friedrich Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos.

Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

Gauss

En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja.

para resolverlos ampliaremos el conjunto de los números reales. Llegamos así a los números complejos, que representamos por C. Con este nuevo conjunto tenemos resueltos todos los problemas, al menos "de momento".

El plano complejo

Llamaremos C al conjunto de los pares de números reales (a,b) con las siguientes propiedades:

Igualdad: (a,b) = (c,d) si a = c y b = d

Suma: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

Producto: (a,b) • (c,d) = (ac bd,ad + bc)

Ejemplo 1

Dados z1  (1,2) y z2 podemos calcular su suma y su producto:

z1 + z2

z1 • z2•(1•3 - 2•1,1•1+2•3)

Dado un número complejo z (a,b) llamamos parte real de z al número real a y lo representamos como Re (z) a de la misma forma, b es la parte imaginaria de z y se representa por Im (z) b.

Ejemplo 3

Dados los números complejos (1,1) y (2,3) vamos a calcular las partes real e imaginaria de su producto:

(1,1)(2,3) = (2–3,3+2) = (–1,5)  Re (–1,5) e Im (–1,5) 

.1 Los números complejos de la forma (a,0)

Si hacemos corresponder a cada número real a, el número complejo (a,0), tenemos una relación biunívoca. Es decir, por cada número real a hay un número complejo de la forma (a,0) y por cada número complejo de la forma (a,0) hay un número real a.

Además la suma y el producto se conservan con esta relación:

Ahora vemos que tenía sentido lo de parte real de un número complejo.

Observación

Dentro de los números reales había números racionales y números irracionales. De la misma forma en C podemos hablar de números reales (los que tienen su parte imaginaria nula) y de números imaginarios (aquellos cuya parte imaginaria no es nula).

Se llaman números imaginarios puros a los que tienen nula la parte real, los de la forma (0,b).

2 Números imaginarios puros, la unidad imaginaria

El número 1 es la unidad en los números reales, y en forma compleja se escribe como (1,0). Esto quiere decir que construimos los demás números reales a partir de éste. De la misma forma si consideramos el conjunto formado por los números imaginarios puros tendremos que todos los números se construyen a partir del (0,1). Sería lógico pues, llamar unidad imaginaria a este número. A esta unidad imaginaria la llamaremos i.

Veamos una propiedad fundamental de i:

i2 = (0,1)•(0,1) = (01,0+0) = (1,0) = 1

de donde i =

Con esta propiedad ya tenemos resuelto el problema de las raíces cuadradas de números negativos, veamos como:

Observación

Si nos fijamos en el ejemplo veremos que el producto de un número imaginario puro por uno real es otro imaginario puro.

Ejemplo 4

Vamos a calcular todas las potencias de i desde n10 hasta n10 y sacar alguna conclusión.

i0 = 1, i1 = i, i2 = 1, i3 = i, i4 = 1, i5 = i,...

ordenando los resultados desde n = 10 hasta n = 10 tenemos:

1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1

La conclusión más elemental es que cualquier potencia de i es –1, –i, 1 ó i, y que las potencias de i se van repitiendo de forma periódica, de 4 en 4.

3 Representación gráfica

Sobre el eje horizontal (eje real) representamos la parte real y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria.

Se llama afijo de un número complejo al punto del plano con el que se corresponde en su representación gráfica.

2.4 Forma binómica

El número complejo (a,b) lo podemos representar en forma binómica como a+bi.

.1 Conjugado de un número complejo

El conjugado del número complejo z(a,b) es otro número complejo . En forma binómica, el conjugado de za+bi es .

Observación

Si queremos resolver una ecuación con coeficientes reales como , tendremos:

Es decir, las soluciones complejas de una ecuación con coeficientes reales cumplen la siguiente propiedad: si z es solución de la ecuación entonces su conjugado también lo es.

Esto es una propiedad muy importante de las ecuaciones con coeficientes reales porque nos ayuda mucho a saber el número de soluciones reales de una ecuación. Por ejemplo, en una ecuación de segundo grado con coeficientes reales, o las dos soluciones son reales o las dos complejas.

Una cuestión muy típica es: ¿puede una ecuación de tercer grado con coeficientes reales tener dos soluciones reales?

La respuesta es NO, y el motivo es que si la ecuación tiene dos soluciones reales, tiene una solución imaginaria z, pero entonces también es solución, con lo cual tenemos dos soluciones imaginarias, y no una como sería en caso de haber dos soluciones reales.

Conclusión

El número de soluciones imaginarias de una ecuación con coeficientes reales siempre es PAR.

2 Inverso de un número complejo

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