El Problema Рothenot

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

Facultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería de Minas

TEMA : P R O B L E M A D E L O S T R E S P U N T O S NOMBRE DEL CURSO : TOPOGRAFIA MINERA

PROFESOR : Ing. ARMANDO BOHORQUEZ HUARA GRUPO : N° 4

ALUMNOS

1. DELGADO VASQUEZ, Román

2. GARCIA CERQUIN, Carlos Daniel

3. MALIMBA VARGAS, Amós

4. MERA TABERA, Kevin Leonardo

Cajamarca / 10 / Octubre / 2014

INTRODUCCIÓN

El caso más general, es el que se observa en la Figura 1. Se tienen tres puntos A, B, C, de posición planimétrica conocida y se pretende calcular la posición de un punto P, estacionando en él con un

Teodolito y midiendo exclusivamente los ángulos  y  .

El problema planteado es comúnmente denominado Problema de Pothenot, aunque también se le conoce como Problema del Vértice de la Pirámide, Problema de los Tres Vértices, Trisección Inversa o simplemente Intersección Inversa. La solución geométrica de la Intersección Inversa, basada en el conocimiento de la Ley de igualdad de los ángulos inscritos en arcos iguales, la dio ya hace más de

2.1 años Euclides. Después fue utilizada en observaciones astronómicas por Hiparco y Ptolomeo. Pero su aplicación geodésica no se hizo hasta bien entrado el siglo XVII.

El primero en resolver el Problema de la Intersección Inversa, tanto geométricamente como por cálculo trigonométrico, fue el holandés Willebord Snellius, en su obra "Eratosthenes batavus", publicada en 1624. Este mismo problema fue tratado en 1671 por John Collins en su obra "Transactions philosophiques". Laurent Pothenot, que trabajaba en la definición del meridiano al Norte de París, presentó un trabajo sobre el tema en 1692. Pero según opinión de W. Jordan en su Libro "Tratado General de Topografía", Pothenot no aportó nada nuevo a la solución del problema y lo único que hizo es publicar con su nombre los trabajos de Snellius y Collins. Otros autores han estudiado esta materia, entre los que desatacan: Lambert (1765), Cagnoli (1786), Bessel (1813), Gauss (1823) y Gerling (1840). A pesar de todo, el problema de la Intersección Inversa sigue conociéndose popularmente como Problema de Pothenot.

OBJETIVOS

OBJETIVO ESPECÍFICO:

El objetivo principal de esta práctica es resolver el problema de los tres puntos o problema de Pothenot mediante el método analítico y método gráfico.

OBJETIVOS SECUNDARIOS:

Obtener los datos de campo suficientes para resolver el problema de los tres puntos en gabinete.

 Determinar los ángulos faltantes (X, Y, Ѳ1 y Ѳ2).

 Determinar los lados AP, BP y CP.

 Determinar las coordenadas de los puntos B, C y P.

 Determinar mediante solución grafica el problema de Pothenot.

FUNDAMENTO TEÓRICO

El problema de Pothenot también conocido como problema de tres puntos se basa en la posición de puntos referidos a una red de triangulación.

La ventaja de resolver el problema de pothenot es que ya se tiene ángulos conocidos como ser los lados de la red y los ángulos internos de dicha red.

Este procedimiento es aplicable especialmente cuando el punto por situar está muy alejado de los puntos conocidos o estando cerca las medidas de las distancias a esos puntos conocidos son difíciles de hacer o resultan imprecisas por obstáculos en el terreno.

Se entiende por problema de tres puntos o Pothenot a la forma metodológica de determinar el posicionamiento de cualquier punto que esté dentro del área circundante del levantamiento topográfico realizado en base a una triangulación.

Con frecuencia se presenta en los trabajos topográficos la necesidad de establecer las coordenadas exactas de un punto en el área de levantamiento, por ello el problema de Pothenot es útil en la resolución rápida

4. SOLUCIONES ANALÍTICAS DE LA INTERSECCIÓN INVERSA

Partiendo del caso general expuesto en la Fig. 1, se observa que el problema analítico para la determinación de la posición del punto P estriba en que en ninguno de los tres triángulos que se forman, con

vértice en P, se conocen dos de sus ángulos. Sólo se

conoce un ángulo y su lado opuesto. Por tanto, no podemos aplicar el teorema del seno en ellos, para deducir sus lados y ángulos. Llamemos "a" y "b" a las distancias AB y BC conocidas, por ser A,B y C puntos de coordenadas también conocidas (generalmente vértices geodésicos).

Los dos triángulos considerados, tienen una diagonal común PB y el valor de su distancia en cada uno de ellos es:

Fig. 16

en el triánglo

APB

PB

sen A

AB



sen 

PB a

sen A

sen 

en el triángulo

BPC

PB

sen C

BC

sen 

PB b sen C

sen 

Igualando ambas expresiones, tenemos:

sen A sen C a b

sen 

sen 

Luego

senC senA

a sen constante, b sen

ya que

las distancias

AB y BC

son conocidas,

y los

ángulos á

y â se

han

medido en

campo.

Conocemos por tanto cuál es la relación de senos, pero no cuánto valen A y C.

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