El conjunto R

1.2. El conjunto R

¿Qué son exactamente los números reales? Sabemos que 5, –8/5,

p

2, p, e,... lo son, que los tres

últimos no son racionales y no se pueden expresar sin utilizar infinitos decimales, que no se pueden

escribir como una fracción. Se saben resolver algunas ecuaciones con coeficientes reales, trabajar con

desigualdades... Se podría trabajar sólo con esta idea intuitiva, pero en matemáticas a veces la intuición

engaña. Convendría tener una definición rigurosa del conjunto R de los números reales. Lo mas serio

(pero muy largo) sería construir los reales a partir de los racionales. Para ahorrar tiempo, definiremos

R como un conjunto de objetos básicos que satisfacen unas propiedades dadas que tomaremos como

axiomas (si se construyese R estas propiedades serían teoremas que habría que demostrar). De ellas se

podrían deducir el resto de propiedades que nos permiten hacer cálculos con reales (tampoco lo haremos

(seguiría siendo demasiado largo), pero es interesante leer el Spivak para ver como se hace). Así pues,

definimos a partir de las propiedades vistas para Q:

Axiomas del

conjunto R

R es un conjunto que posee las propiedades 1) , ... , 6) de cuerpo

ordenado y además satisface el axioma del extremo superior

El último axioma (que vemos algo más adelante, pues exige alguna definición) distingue R de Q .

–8/5 0 5

"2 e !

Gracias al orden de R tiene sentido la representación usual –

de R como una línea recta, asociando a cada número real un

punto de la recta. Es tan común que se utilizan indistintamente

los términos ‘conjunto de números reales’ y ‘recta real’; ‘número real’ y ‘punto’.

A partir exclusivamente de los axiomas se podrían demostrar todo el resto de propiedades de

los números reales que se habrán utilizado en cursos anteriores. Repasamos sin demostrarlas

algunas referentes a desigualdades, porque suele haber problemas en el trabajo con ellas:

Teorema:

a<b)a+c < b+c , a

...