El cálculo de logaritmos

Cálculo

Los logaritmos son fáciles del calcular en algunos casos, tales como log10(1,000) = 3. En general, los logaritmos pueden ser calculados usando series de potencias o la media aritmético-geométrica, o ser obtenidos de una tabla de logaritmos precalculada que proporciona una precisión fijada.14 15 El método de Newton, un método iterativo para resolver ecuaciones aproximadamente, puede ser usado también para calcular el logaritmo, porque su función inversa, la función exponencial, puede ser calculada eficientemente.16 Usando tablas de referencias, métodos como CORDIC pueden ser usados para calcular logaritmos si la únicas operaciones disponibles son la adición y el desplazamiento de bits.17 18 Más aún, el algoritmo del logaritmo binario calcula lb(x) recursivamente basado en la repetición cuadrática de x, aprovechando la relación

Serie de potencias

Serie de Taylor

Serie de Taylor de ln(z) at z = 1. La animación muestra las primeras 10 aproximaciones junto con las aproximaciones 99 y 100.

Para cualquier número real z que satisfaga 0 < z < 2, la siguiente serie de potencias se cumple:nb 1 19

Esta es una manera rápida de decir que ln(z) puede ser aproximado a un valor más y más preciso mediante las siguientes expresiones:

Por ejemplo, con z = 1.5 la tercera aproximación obtiene 0.4167, que es alrededor de 0.011 mayor que ln(1.5) = 0.405465. Esta serie aproxima ln(z) con precisión arbitraria, siempre que el número de sumandos sea lo suficientemente grande. En cálculo elemental, ln(z) es por tanto, el límite de la serie. Esta es la serie de Taylor del logaritmo natural en z = 1. La serie de Taylor de ln z proporciona una particular aproximación útil de ln(1+z) cuando z es pequeño, |z| << 1, puesto que

Por ejemplo, con z = 0.1 el primer orden de aproximación da ln(1.1) ≈ 0.1, que es menor del 5% del valor correcto 0.0953.

Series más eficientes

Otra serie está basada en la función argumento de tangente hiperbólica:

para cualquier número real z > 0.nb 2 19 Usando la notación sumatorio esta también puede ser escrita como

Esta serie se puede obtener de la serie de Taylor anterior. Converge más rápido que la serie de Taylor, especialmente si z es cercano a 1. Por ejemplo, para z = 1.5, los tres primeros términos de la segunda serie aproximan ln(1.5) con un error del entorno de 3×10−6. La rápida convergencia para z cercano a 1 puede ser tomada como una ventaja de la siguiente manera.: da una aproximación de baja exactitud y ≈ ln(z) y calculando

el logaritmo de z es:

Cuando mejor es la aproximación inicial y, más cerca está A de 1, así que su logaritmo puede ser calculado eficientemente. A puede ser calculado usando la serie exponencial, que converge

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