Elementos Geometricos En El Espacio

Elementos geométricos en el espacio

Centro de gravedad de figuras geométricas

En el curso de física, el centro de gravedad, el centro de masa y el centroide pueden, en ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suelen utilizar los términos indistintamente, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masa depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.

Centro de gravedad o centroide de figuras planas

• El centroide (O) de un segmento se encuentra en su punto medio.

• El centroide o baricentro (G) de un triangulo se encuentra en el punto en el que se intersecan las tres medianas del triángulo.

• El centroide (G) o centro de gravedad de un cuadrado se encuentra en el punto en el que se intersecan sus dos diagonales.

Centro de gravedad o centroide de sólidos geométricos.

Para ubicar el centroide de un tetraedro, primero encontramos el baricentro de todas las caras. Luego, unimos cada vértice con el baricentro de sus caras opuestas. La intersección de dichos segmentos es el centroide.

E

J

E

M

P

L

O

1

¿A qué distancia de la base se encuentra el centroide de un cubo?

• Trazamos las cuatro diagonales del cubo. El centroide de dicho cubo se encuentra en el punto en el que se intersecan las cuatro diagonales.

• Medimos con una regla y encontramos que la distancia de la base al centroide es 4 cm.

Rectas y planos en el espacio

A diferencia de la geometría plana, la geometría del espacio o estereometría estudia los cuerpos y figuras cuyos elementos geométricos no están en un mismo plano.

Participación del espacio por un plano

Sea el plano P y el espacio E al que pertenecen infinitos elementos llamados puntos. El plano P determina una participación del espacio E entres subconjuntos:

- Semiespacio E1 = {puntos del plano P y puntos que pertenecen a una de la regiones del espacio limitado por P}

- Semiespacio E2 = { puntos del plano P y puntos que pertenecen a la otra región del espacio limitado por P}

- Borde o frontera P = {puntos que pertenecen al plano P}

-

Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio.

Dos rectas en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones:

Rectas secantes Rectas paralelas Rectas alabeadas

cuando su intersección es un punto. En este caso, son coplanarias. AB U CD= {O}

- cuando siendo coplanarias, su intersección es vacía. AB U CD= O

- cuando son no coplanarias. Su intersección es vacía. A U CD= O

Una recta y un plano en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones:

Recta contenida en el plano Recta secante al plano Recta paralela al plano

Cuando todos los puntos de la recta pertenecen al plano. AB U P= AB

Cuando la recta y el plano tiene un solo punto en común. AB U P={O}

Cuando la intersección entre la recta y el plano es vacía. AB U P=O

Dos planos diferentes en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones:

Planos paralelos Planos secantes

Cuando su intersección es vacía. P U Q= O

Cuando su intersección es una recta. P U Q= AB

TEOREMAS SOBRE RECTAS RELACIONADAS CON PLANOS.

Entre rectas y planos relacionados se dan los siguientes teoremas:

Teoremas de las tres perpendiculares

Si desde el pie O de una recta l1, perpendicular a un plano P, se traza una recta l2, perpendicular a otra l3 contenida en el plano, resulta que la recta que pasa por el pie O de l2 u l3 y un punto cualquiera de l1 es perpendicular a l3.

Plano secante a otros dos planos paralelos Segmentos paralelos entre planos paralelos

Al cortar dos planos paralelos por un tercer plano, las intersecciones son rectas paralelas.

P// Q- AB//CD Los segmentos de rectas paralelas comprendidos entre planos paralelos son congruentes.

P// Q V AB//CD-AB=CD

Lema de Tales Planos paralelos a igual distancia

tres o más planos paralelos determinan, sobre dos o más rectas secantes a ellos, segmentos proporcionales.

P// Q// R-AB/BC=DE/EF

Cuando tres o más planos paralelos determinan sobre una recta secante segmentos congruentes, dichos planos determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra recta secante.

P// Q// RVAB=BC-DE=EF

Determina el valor de x si P// Q// R, AB=EF=6 u, DE=3x y BC=X+1.

• Aplicamos el tema de Tales:

AB/BC=DE/EF-6/X+1=3x/6-6²=3x.(x+1)

• Resolvemos la ecuación cuadrática que se forma:

3x²+3x-36=0- x²+x -12=0

x=3 V x=-4

El valor de x es 3 u.

Un segmento AB de 13 cm, se proyecta sobre el plano P tal que sus proyectantes AA’=15CM Y BB’= 20cm. Calcula la proyección de AB sobre el plano P.

• Gráficamente en el margen con ayuda de los datos.

Trazamos AD perpendicular a BB’ y observamos que se forma el triangulo rectángulo ADB.

• Calculamos AD: 13²=5²+(AD)² - AD= A’B’=12 cm

La proyección de AB sobre P mide 12 cm

ANGULOS EN EL ESPACIO

Angulo diedro.

Angulo diedro es el formado por dos semiplanos que tienen una recta en común (AB). Esta se denomina arista y los semiplanos se llaman caras.

La medida de un ángulo diedro es igual a la medida de su ángulo plano (α). Es el ángulo formado entre dos rectas perpendiculares a la arista, una en cada cara.

Se denota: P-AB-Q

Se lee: ángulo diedro PABQ

Convenimos: α=m P-AB-Q

Los ángulos diedros se clasifican según su medida y según su posición. Observa:

Se tienen los ángulos diedros consecutivos M-AB-N y N-AB-R. Si m M-AB-R=145° y m M-AB-N=4(m N-AB-R), halla m N-AB-R

• Graficamos y planteamos:

4x+x=145°

5x=145° - x=29°

El ángulo diedro N-AB-R mide 29°.

Angulo poliedro.

Un ángulo poliedro es la región

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