Elementos Invariantes Y Lugares Geométricos En La Resolución De Problemas Geométricos

Resumen

Este artículo trata sobre el problema de construir un triángulo equilátero cuyos tres vértices estén en sendas líneas rectas paralelas dadas. Se muestran varios métodos de resolución encontrados con el auxilio del programa computacional Cabri-Géomètre. Se sugiere la exploración de conjeturas verosímiles acerca de las construcciones utilizadas, además de plantear otros problemas relacionados. Asimismo, se presenta la resolución de este problema utilizando geometría analítica y se plantean algunas preguntas para el análisis de las expresiones algebraicas obtenidas.

Introducción

Ocurre con frecuencia que un problema matemático pueda ser abordado, por quien intente resolverlo, bajo distintas maneras de representación: numérica, gráfica, algebraica y con una reelaboración verbal, entre otras. Si se elige una representación geométrica como punto de inicio para entender el problema y se sigue este camino para resolverlo, la precisión de los instrumentos que se usen, así como la de los trazos que se obtengan con ellos, desempeña un papel central en la exactitud de la solución.

La utilización de la geometría dinámica mediante las computadoras permite la deformación de figuras y el movimiento de ellas para generar soluciones de diferentes problemas. Este tipo de geometría se desarrolla en un ámbito constituido por píxeles. Por ello, se obtienen realmente soluciones aproximadas de determinado problema que se haya representado en tal ámbito.

En el ambiente de geometría dinámica proporcionado por el programa computacional Cabri-Géomètre se cuenta con herramientas geométricas tales como cónicas, lugares geométricos, coordenadas rectangulares y polares, redefinición de objetos, etcétera. Además, Cabri-Géomètre complementa su interfase con macros para que el usuario pueda construir sus propios útiles de trabajo.

En este artículo se ilustra el uso de Cabri-Géomètre para auxiliar el avance del pensamiento en el conocimiento geométrico. Para ello, se presenta el trabajo desarrollado en la resolución de un solo problema geométrico, el cual es el siguiente:

Trazar un triángulo equilátero cuyos tres vértices estén en sendas líneas rectas paralelas dadas. (Cf., Shively, 1961, p. 167; Eves, 1969, p. 187)

Construcciones geométricas

Es posible obtener un método de construcción general, para el problema central de este artículo, intentando resolverlo primero para el caso particular en que la recta intermedia l2 es equidistante de las otras dos (véase figura 1). En este caso, el lado del triángulo equilátero debe medir exactamente lo mismo que la distancia OB que separa a las rectas extremas l1 y l3.

La circunferencia trazada con centro en un punto fijo P de la recta intermedia l2, y radio OB se interseca con las líneas l1 y l3 en R y Q respectivamente. PQR es el triángulo equilátero pedido. Sea G el punto de intersección del lado QR del triángulo con la línea l2. El punto G es el punto medio del lado QR.

Si se modifica la distancia de separación de la recta intermedia l2 con respecto a las otras dos (véase figura 2), moviendo el punto fijo P en l2 sobre la perpendicular OB a las rectas paralelas dadas, el triángulo equilátero PQR se transformará en otro triángulo equilátero P’Q’R’ que cumple los requerimientos del problema. ¡Pero resulta que el punto medio del lado Q’R’ del nuevo triángulo equilátero sigue siendo el mismo punto G! A partir de estas observaciones, podemos enunciar el siguiente teorema:

TEOREMA 1. Sean l1, l2 y l3 tres rectas paralelas dadas que se intersequen con una transversal en los puntos R, G y Q respectivamente. Si G es el punto medio del segmento RQ de la transversal, comprendido entre las líneas extremas l1 y l3, entonces ocurre lo mismo para cualquier otra transversal; esto es, l1 y l3 son simétricas respecto de todo punto de l2. (Cf., Choquet, 1963, pp. 110 y 111)

Con la utilización de este punto fijo G, se plantea el siguiente método de resolución para el problema inicialmente planteado:

Construcción 1

1. Sean l1, l2 y l3 las tres rectas paralelas dadas (véase figura 3).

2. Sea l2 la recta intermedia de las tres paralelas dadas; en ésta, elíjase un punto fijo P’ como uno de los vértices del triángulo equilátero que se requiere construir.

3. Trácese una perpendicular a l2 por P’. Sean B y O los puntos de intersección de esta perpendicular con l1 y l3 respectivamente.

Como el triángulo que se pide construir debe ser equilátero, la recta que pase por el vértice P’ de dicho triángulo y por el punto medio G del lado opuesto deberá ser perpendicular a este lado. Así,

4. Trácese la recta l0 equidistante de las dos rectas extremas dadas l1 y l3. Sea P el punto de intersección de l0 con la recta OB.

5. Descríbase la circunferencia con centro en P y radio OB. Para ello, se localiza el punto D simétrico de P con respecto a l1 (OB = PD). Sean R y Q los puntos de intersección de esta circunferencia con las líneas l1 y l3 respectivamente. La intersección de la línea recta l4, determinada por los puntos R y Q, con l0 es el punto G descrito antes del paso 3.

6. Trácese la línea recta l5 determinada por los puntos P’ y G.

7. Por el punto G, trácese la línea l6 perpendicular a l5. Sean R’ y Q’ los puntos de intersección de l6 con l1 y l3 respectivamente.

P’Q’R’ es el triángulo equilátero requerido.

Ahora bien, por el papel simétrico que desempeñan los elementos principales de un triángulo equilátero (lados, ángulos y vértices), si se construyen triángulos equiláteros con un vértice fijo en alguna de las tres rectas paralelas dadas y otro vértice móvil en alguna de las otras dos, se conjetura que el lugar geométrico formado por el tercer vértice de los triángulos equiláteros así construidos deberá ser otra línea recta. Como dos puntos determinan una línea recta, bastará entonces con construir sólo dos triángulos equiláteros y así determinar el lugar geométrico descrito. Con base en esta conjetura verosímil, se propone el siguiente método para resolver el problema.

Construcción 2

1. Tómese un punto fijo P en la recta intermedia l2 (véase figura 4).

2. Trácese una perpendicular a l2 por P. Sean B y O los puntos de intersección de esta perpendicular con l1 y l3, respectivamente.

3. Trácese el triángulo equilátero de lado OP (para determinar el tercer vértice C, trácense dos circunferencias de radio OP con centro en P y en O respectivamente; C será uno de los dos puntos de intersección de estas dos circunferencias). Por consiguiente, POC es un triángulo equilátero con el vértice P en l2 y el vértice O en l3.

4. Trácese un segundo triángulo equilátero de lado PD, siendo D un punto de intersección de la circunferencia con centro en O y radio OP con la recta l3 (para determinar el tercer vértice E, trácense dos circunferencias de radio PD con centro en P y en D respectivamente; E será uno de los dos puntos de intersección de estas dos circunferencias). Por consiguiente, PDE es otro triángulo equilátero con el vértice P en l2 y el vértice D en l3.

5. Trácese la línea l4 determinada por los puntos C y E. Sea R el punto de intersección de esta recta con l1.

6. Trácese la circunferencia con centro en P y radio PR. Sea Q el punto de intersección de esta circunferencia con la recta l3.

PQR es el triángulo equilátero requerido.

Las ideas utilizadas en la construcción 2 conducen al planteamiento del siguiente teorema, aparentemente distinto del problema central de este artículo:

TEOREMA 2. El lugar geométrico descrito por un vértice C de los triángulos equiláteros construidos con un vértice fijo en un punto A exterior a una línea recta dada l y otro vértice B móvil en esta recta está formado por dos líneas rectas que se intersecan en el punto A’, simétrico de A con respecto a la recta dada. (Véase figura 5.)

¿Cuánto mide el ángulo entre las dos líneas rectas que forman el lugar geométrico descrito en el teorema 2? ¿Depende la medida del ángulo entre las dos rectas que forman el lugar geométrico descrito en este teorema del punto A exterior a la línea recta dada l? ¿Qué se puede decir del ángulo formado por cada una de estas rectas con la línea recta dada?

Con base en el teorema 2 se obtienen otros procedimientos para la construcción del triángulo equilátero requerido en el problema planteado.

Construcción 3

1. Tómese un punto fijo P en la recta intermedia l2 (véase figura 6).

2. Determínese el punto A, simétrico de P con respecto a la recta l3.

3. Trácese la mediatriz l4 del segmento OP.

4. Trácese la circunferencia con centro en P y radio PO. Sea M el punto de intersección de esta circunferencia con l4.

5. Trácese la línea recta l5 determinada por los puntos A y M. Sea R el punto de intersección de esta recta con l1.

6. Trácese la circunferencia con centro en P y radio PR. Sea Q el punto de intersección de esta circunferencia con l3.

PQR es el triángulo equilátero requerido.

Construcción 4

Un procedimiento más para la construcción del triángulo requerido consiste en trazar la circunferencia con centro en O y radio OP en el paso 4 de la construcción 3 (véase figura 7), en lugar de tomar como centro el punto P. El punto de intersección de la circunferencia con centro en O y la línea l4 resulta ser el mismo punto M encontrado

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