Establecimiento del problema y definiciones.

Establecimiento del problema y definiciones.

Considere una matriz A ∈R^nxn dada por

Definición: Eigenvalor y Eigenvector. Un vector b ⃗ R^n, tal que b ⃗ ≠ 0 ⃗, se dice que es un Eigenvector, vector propio o vector característico, de la matriz A si y solo si

Ab ⃗=λb ⃗ , donde λ ∈C

Además, se dice que el escalar λ es el eigenvalor, valor propio o valor característico de la matriz A asociado al eigenvector b ⃗; de manera recíproca, se dice que b ⃗es un eigenvector de A asociado al eigenvalor λ. Aun cuando la matriz A es real, los eigenvalores asociados a la matriz pueden ser números complejos.

TEOREMA I. El conjunto de todos los eigenvectores b ⃗ asociados al eigenvalor λ constituyen un subespacio vectorial R^n, conocido como el eigenespacio asociado al eigenvalor λ.

PRUEBA: Es suficiente mostrar que el conjunto de vectores

E={b ⃗(∈R^n | Ab ⃗=λb ⃗ ) ⃗}

Está cerrado respecto a la adición de vectores y la multiplicación por escalar.

1. Sean b ⃗1, b ⃗2 ∈E por lo tanto

A b ⃗1= λb ⃗1 y A_b2 = λb ⃗2

Puesto que la multiplicación de matrices es una operación lineal, se tiene que

A (b ⃗1 +b ⃗2) = Ab ⃗1 + Ab ⃗2 = λb ⃗1 + λb ⃗2 = λ (b ⃗1 +b ⃗2 )

por lo tanto, el conjunto está cerrado respecto de la adición.

2. Sea b ⃗1∈ E y μ ∈ R, por lo tanto

Ab ⃗1 = λb ⃗1.

Puesto que la multiplicación de matrices es una operación lineal, se tiene que

A(μb ⃗1)= μAb ⃗1 = μλb ⃗1 = λμb ⃗1 = λ(μb ⃗1)

.

Por lo tanto, el conjunto está cerrado respecto a la multiplicación por escalar.

Estas dos pruebas parciales verifican que el conjunto de todos los eigenvectores b ⃗ asociados al eigenvalor λ

constituyen un subespacio vectorial de R^n.

Ab ⃗ = λb ⃗, o Ab ⃗ = Inλb ⃗, o [A− λIn] b ⃗ = 0 ⃗

Donde In es la matriz identidad de orden n. Puesto que, por definición, b ⃗ = 0 ⃗, la única posibilidad para que la ecuación se satisfaga es que, la matriz [A − λIn] sea singular y que b ⃗ sea un elemento del espacio nulo o kernel de la matriz. Una condición necesaria y suficiente para que la matriz [A − λIn] sea singular es que su

Determinante sea cero; es decir

p(λ) =|A− λIn |= 0.

Expandiendo el determinante de la ecuación, se obtiene una ecuación polinomial real de n-ésimo orden en λ.

Esta ecuación se denomina la ecuación característica de la matriz A. Las raíces de la ecuación característica

son los eigenvalores de

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