Estadística y diseño de experimento

Universidad de Oriente

Núcleo de Anzoátegui

Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas

Departamento de Ingeniería Química

Barcelona, mayo del 2019

Estadística y diseño de experimento

Profesor Luis Peña

Bachilleres:

Millán Jennifer C.I: 27.455.378

Vegas Gregory C.I: 27.943.166

Zabala Rodmariagny C.I: 27.824.155

Distribución Poisson y Distribución Normal

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es junto a la distribución binomial, una de las más importantes distribuciones de probabilidad para variables discretas, es decir, solo puede tomar valores enteros positivos (x= 1, 2, 3, 4, …, 120).

Esta distribución se emplea para describir varios procesos, como por ejemplo:

• El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta durante un periodo de tiempo definido.
• El número de errores de ortografía que se comete al escribir una página.
• El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.

Estos procesos serán las variables aleatorias y representan el número total de ocurrencias de un fenómeno durante un periodo de tiempo fijo o en una región fija del espacio.

Concretamente se especializa en la probabilidad de que ocurra un suceso raro o poco probable.

Características:

1. Es una aproximación a la distribución binomial y es de forma discontinua.
2. Es un modelo que se utiliza para el estudio de aquellas variables cuando el valor de N es relativamente grande y la probabilidad de éxito es muy pequeña.
3. Se utiliza para los casos donde N≥20, p<0,05 y µ≤10
4. Su rango de probabilidad esta entre 0 y 1
5. Tiene mucha aplicación en ingeniería y medicina.
6. El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, es independiente del número que se tiene en cualquier otro intervalo.

Definición:

Sea X la variable aleatoria que representa el número de resultados que se producen en un intervalo de tiempo o espacio dado, la distribución Poisson está dada por:

[pic 1]

[pic 2]

 Donde:[pic 3]

µ = n . p

x = 0, 1, 2, … (números enteros).

µ = la media de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio.

e = parámetro matemático, cuyo valor es aproximadamente 2,72.

Teoremas[pic 4]

Varianza:         [pic 6][pic 5]

Desviación:    [pic 7]

Ejercicios:

1. La probabilidad de rechazo hacia una determinada reacción alérgica de un medicamento en niños es de 0.00069. Determine la probabilidad de que, entre un total de 14.000 niños, 21 de ellos presenten problemas alérgicos.

Datos:

n = 14.000        p= 0.00069        X= 21

Entonces:

µ = n . p

µ = 14000 x 0.00069 = 9.66

[pic 8]

[pic 9]

1. Un vendedor de seguros de vida vende en promedio 3 pólizas por semana. Calcular la probabilidad de:

1. Que venda alguna póliza en una semana.
2. Que venda dos o más pólizas, pero menos de 5 en una semana.
3. Calcule la varianza y la desviación estándar.

• Solución a:

P(X>0) = P(x=1) + P (x=2) + … + P(x=n)

Ya que no se puede calcular con exactitud la suma de todas las probabilidades mayores que cero (probabilidades de que venda alguna póliza), se usa una propiedad de estadística de proceso, definida como:

P(A) = 1 – P(Ᾱ)

Donde P(Ᾱ) será el suceso abnegado, es decir, la probabilidad de que ocurra lo contrario.

Entonces:

P(A) = 1 – P(x=0)

[pic 10]

P(x>0) = 1 – 0,04978 = 0,950522

0,950522 x 100% = 95,0522%

Se concluye que existe 95,0522% de probabilidad de que venda alguna póliza.

• Solución b:

P(2≤x<5) = P(x=2) + P(x=3) + P(x=4)

[pic 11]

P(2≤x<5) = 0,61611

0,61611 x 100% = 61,61%

Existe un 61,61% de que venda dos o más pólizas, pero menos de 5.

• Solución c:

Varianza

[pic 12]

[pic 13]

Desviación estándar:

[pic 14]

  [pic 15]

Distribución normal

Se llama distribución normal a una de las distribuciones de probabilidad de variables continuas que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. Con esta se puede calcular la probabilidad de que varios valores ocurran dentro de ciertos rasgos o intervalos, sin embargo, la probabilidad exacta de un valor particular dentro de una distribución continua, como es la distribución normal, es cero. Por ejemplo: es factible determinar la probabilidad de que el tiempo de descarga para una página web este entre 7 y 10 segundos, o que la probabilidad de descarga este entre 7,99 y 8,10 segundos. Sin embargo, la probabilidad de que el tiempo de descarga de una página web sea exactamente 8 segundos es cero.

Características:

• Sus medidas de tendencia central son todas iguales (media, mediana, moda).
• La distribución depende de la media y la desviación estándar.
• Su representación gráfica es simétrica y de forma acampanada o Gaussiana, y el área encerrada dentro de la gráfica representa la probabilidad para los valores que se evalúan.
• Por la simetría de la curva, el área de la región bajo la curva en el intervalo (-∞, µ) es igual a 0,5, es decir, del lado izquierdo de la media se encuentra el 50% de los datos, y así mismo ocurre con el lado derecho, en el intervalo (µ, ∞). Por ende, el área total bajo la curva es igual a 1.

[pic 16]

Para calcular la probabilidad en la distribución normal se utiliza la función de densidad normal de la variable aleatoria normal X, con media µ y desviación estándar σ, es decir:

[pic 17]

Utilizando esta definición resulta muy tedioso realizar algún cálculo, por ello se creó un tipo de distribución normal llamada estándar.

La distribución normal estándar es la distribución de la probabilidad de una variable aleatoria conocida como Z, y tiene como condición:

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