Estadistica basica

ESTADÍSTICA II:  PRÀCTICA 1

Variables Aleatòries

1. Experiment aleatori: “llançament consecutiu de dos daus”

1. Definiu l’espai mostral Ω.
2. Definiu la funció de probabilitat clàssica sobre Ω.

- Definiu les variables aleatòries següents:

1. [pic 1]
2. [pic 2]
3. [pic 3]

on “i”, “j” representen la puntuació obtinguda amb el primer i segon dau, respectivament.

1. Trobeu, en cada cas, el rang de la variable.
2. Definiu i representeu gràficament la corresponent funció de quantia.
3. Definiu, en cada cas, la corresponent funció de distribució acumulativa i representeu-la gràficament.

1. Considerem un dau trucat de tal manera que la probabilitat d'obtenir una determinada cara és proporcional a la puntuació d’aquesta cara.

Definim la variable aleatòria X: puntuació obtinguda en una tirada del dau. Determineu-ne la funció de quantia ([pic 4]).

1. Sigui X una variable aleatòria absolutament contínua amb funció de densitat de probabilitat:

[pic 5]

Se us demana:

1. Trobeu la constant k i la funció de distribució de probabilitat.
2. Probabilitat que X estigui compresa entre 4 i 5.
3. Probabilitat que X sigui menor que 4.
4. Sabent que X és major que 4, probabilitat que sigui menor a 5.

1. La funció de densitat d’una variable aleatòria absolutament contínua és:

        [pic 6]

Determinar a i b, sabent que [pic 7]

1. Determineu " c " per tal que

[pic 8]

sigui una autèntica funció de densitat i calculeu la funció de distribució acumulativa (FX (x)), E(X) i Var(X).

1. Obteniu, en cada cas, la funció de quantia o la funció de densitat i el rang/recorregut de cada variable

a partir de les funcions de distribució acumulativa següents:

a)     [pic 9] < 0                        b)     [pic 10]

7.        Les vendes setmanals (X) d'una determinada revista en un quiosc es distribueixen seguint una llei uniforme (equiprobabilitat) entre 14 i 18 unitats.

1. Trobeu les vendes setmanals esperades.
2. Trobeu la variància de X.

1. La variable X, absolutament contínua, té la funció de densitat següent:

        [pic 11]

1. Comproveu que és una autèntica funció de densitat.
2. Obteniu l’esperança matemàtica i la variància de X.

1. Sigui X una variable aleatòria contínua amb funció de distribució acumulativa FX (x).

Sabent que: [pic 12]

Calculeu:

1. [pic 13]
2. [pic 14]
3. [pic 15]
4. [pic 16]

1. Sigui la variable aleatòria X donada pel gràfic següent:[pic 17]

a)        Tabuleu la funció de probabilitat fX (x) i la funció de distribució acumulativa FX (x) corresponents.

b)        Calculeu l’esperança de X.

1. Calculeu E(X) i Var(X) d’una v.a. amb f.d.p.

        [pic 18]

1. Sigui una distribució uniforme definida entre els extrems a i b entre els quals la funció de densitat val C i fora d’aquest interval s’anul·la.

1. Determineu la constant de normalizació C
2. L’esperança matemàtica de la distribució.
3. La variància.
4. Donada l’esperança i la variància, calculeu el valor dels extrems

1. Sigui una variable aleatòria X amb una funció de densitat exponencial

[pic 19]

definida només per a valors positius.

1. Normalitzeu
2. Esperança matemàtica
3. Variància
4. Comproveu la desigualtat de Txebitxev per a aquesta distribució.

1. La longitud en centímetres (X) d’una peça segueix una variable aleatòria amb la funció de densitat següent:

[pic 20]

1. Definiu el recorregut de la variable i trobeu la constant de normalització.
2. Trobeu el valor més probable d’X (moda).
3. Dibuixeu la gràfica de la funció de distribució acumulativa.
4. Esperança matemàtica (mitjana).
5. Trobeu el valor de l’abscissa que divideix l’àrea sota la funció de densitat en dues parts iguals (mediana).
6. Una peça es considera vàlida si té una longitud compresa entre 0,8 i 1,8 cm. Calculeu la probabilitat que una peça escollida a l’atzar sigui vàlida.

1. Es venen 5.000 bitllets de loteria a 3 €. cada un per al sorteig d’un premi de 3.000 €. Quin és el guany esperat d’una persona que compra tres bitllets? (V.A. dicotòmica).

1. El propietari d’un restaurant de platja està estudiant els beneficis nets diaris (X) que obté el seu establiment. Segons les seves conclusions, el benefici diari és de 150 € amb una probabilitat de 0,5; de 270 € amb una probabilitat de 0,4 i de 540 € amb una probabilitat de 0,1. Calculeu E(X) i Var(X).

1. En un establiment comercial la demanda diària (en quilos) d’un determinat article pot considerar-se com una variable aleatòria amb la funció de densitat següent:

[pic 21]

Els beneficis diaris per la venda del producte depenen de la demanda segons la distribució següent:

...