FUNCIONES / MATEMATICAS

Estudio de función

1. f (x) = [pic 1][pic 2]

• Dominio de la función: R

• Asíntotas:

• A.V.:  [pic 3][pic 4]        A.V.: x=a
  Para que la función tienda a infinito la x debe tender hacia infinito positivo y negativo. En conclusión, no existen asíntotas verticales.[pic 5]
• A.H.: [pic 6][pic 7]        A.H.: y=b[pic 8]

[pic 9]

Ídem que las asíntotas verticales.

• A.O.: [pic 10][pic 11]         [pic 12][pic 13]   [pic 14][pic 15] .[pic 16]

[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]

• Puntos Críticos: Máximos y Mínimos.

Para hallar estos puntos, es necesario calcular la primera derivada de la función:
[pic 20]

Luego de hallar la primera derivada hay que igualarla a cero para hallar los puntos críticos:

[pic 21]

Como 3 es raíz: Regla de ruffini:

                                                                        4    -24   44  -24 [pic 22][pic 23]

                                                                  3          12   -36  24[pic 24]

                                                                        4     -12    8      0

[pic 25]
[pic 26]

[pic 27]

Una vez hallados los puntos críticos, hay que determinar cuáles son Máximos y cuales Mínimos. Para ello hay que estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función.

• Crecimiento y decrecimiento: Teniendo los puntos críticos, hay que comparar el comportamiento de valores de x previos y posteriores a dichos puntos. Si las imágenes de dichos valores son negativas en la primera derivada (es decir [pic 28][pic 29]), la función decrece y por el contrario cuando la primera derivada es positiva (es decir [pic 30][pic 31]), la función crece. Una vez conocido esto, si la función crece antes del punto y luego decrece, estamos ante la presencia de un punto Máximo. Por el contrario, si primero decrece y luego crece, el punto crítico es un punto Mínimo.
  Para esta función elegimos los valores 0, 1.5, 2.5 y 4 (previos y posteriores a 1, 2 y 3, respectivamente).

Tanto para x= 0 como para x= 2.5 notamos que la derivada es negativa, mientras que en x= 1.5 y x= 4 la derivada es positiva:

Los períodos de Crecimiento de la función son: [pic 36][pic 37]

Los períodos de Decrecimiento de la función son: [pic 38][pic 39]

• Concavidad y Puntos de Inflexión (Tangente Horizontal y Oblicua):

Para estudiar la concavidad es necesario calcular la segunda derivada de la función:

[pic 40]

Si las imágenes son positivas en la segunda derivada (es decir [pic 41][pic 42]), el tramo correspondiente en la función original tendrá concavidad positiva mientras que si son negativas (es decir [pic 43][pic 44]) su concavidad será negativa. Para analizar esto primero calcularemos los Puntos de Inflexión (Tangentes Horizontales y Tangentes Oblicuas). Para ambos casos hay que igualar a cero esta derivada:

[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]

Para saber si son Tangentes Horizontales u Oblicuas, se sustituyen estos valores en la primera derivada. Si la imagen es igual a cero entonces es Horizontal, de lo contrario es Oblicua. En este caso ambas son Oblicuas.

• Gráfico correspondiente a la función (f(x) en azul, f’(x) en rojo y f’’(x) en verde):

[pic 51]

1.  f (x) = [pic 52][pic 53]

• Dominio de la función:

[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
[pic 57]

• Asíntotas:

• A.V.:  [pic 58][pic 59]        A.V.: x=a
  Para que la función tienda a infinito, el denominador debe tender hacia cero:[pic 60]

[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
[pic 64]

A.V.:  x = {[pic 65][pic 66]}

• A.H.: [pic 67][pic 68]        A.H.: y=b[pic 69]

[pic 70]

Para salvar la indeterminada es necesario dividir por x a la mayor exponente, en este caso x1. Hay que dividir tanto en el numerador como en el denominador:

[pic 71]

Para poder incluir la x dentro de la raíz es preciso compensar esa raíz con un cuadrado ya que de lo contrario se estaría creando una función nueva. A su vez, como la compensación creada da como resultado un módulo[pic 72][pic 73] se debe desglosar el estudio del límite en [pic 74][pic 75] de acuerdo con la definición de módulo [pic 76][pic 77]en donde, para x positivos, [pic 78][pic 79]  y para x negativos, [pic 80][pic 81].

[pic 82]
[pic 83]

A.H.: y = {[pic 84][pic 85]}

• A.O.: Al existir asíntotas horizontales en la función, podemos afirmar que no existe ninguna asíntota oblicua debido a que estos dos tipos de asíntotas no pueden coexistir en una misma función.

• Puntos Críticos: Máximos y Mínimos.

Además de tener los puntos críticos correspondientes a las asíntotas verticales, existen otros puntos críticos. Para hallar estos puntos, es necesario calcular la primera derivada de la función:

[pic 86]

Luego de hallar la primera derivada hay que igualarla a cero para hallar los puntos críticos:

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

• Crecimiento y decrecimiento: Una vez hallados los puntos críticos (en este caso solo las AV),  hay que comparar el comportamiento de valores de x previos y posteriores a dichos puntos. Si las imágenes de dichos valores son negativas en la primera derivada (es decir [pic 93][pic 94]), la función decrece y por el contrario cuando la primera derivada es positiva (es decir [pic 95][pic 96]), la función crece.
  Para esta función elegimos los valores -2 y 2 (previos y posteriores a [pic 97][pic 98], respectivamente). Entre dichas asíntotas los valores de x no corresponden al dominio asique no serán tomados en cuenta.

Tanto para x= -2 como para x= 2 notamos que la derivada es negativa por lo tanto la función original es estrictamente decreciente.

• Concavidad y Puntos de Inflexión (Tangente Horizontal y Oblicua):

Para estudiar la concavidad es necesario calcular la segunda derivada de la función:

[pic 99]

Luego de eso, realizamos el mismo procedimiento que para determinar los periodos de crecimiento y decrecimiento, con la diferencia que esta vez, si las imágenes son positivas en la segunda derivada (es decir [pic 100][pic 101]), el tramo correspondiente en la función original tendrá concavidad positiva mientras que si son negativas (es decir [pic 102][pic 103]) su concavidad será negativa.
Para el x = -2, la segunda derivada es negativa, por ende, la concavidad es negativa para el tramo [pic 104][pic 105]. Para el x = 2 la segunda derivada es positiva y la concavidad en el tramo [pic 106][pic 107] es positiva.

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