Feria De Ciencias:matematica

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

El 2 se calcula sumando (1+1)

Análogamente, el 3 es sólo (1+2),

Y el 5 es (2+3),

¡y sigue!

Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

¡Así de simple!

Aquí tienes una lista más larga:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...

¿Puedes encontrar los siguientes números?

La regla

La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series):

la regla es xn = xn-1 + xn-2

donde:

xn es el término en posición "n"

xn-1 es el término anterior (n-1)

xn-2 es el anterior a ese (n-2)

Por ejemplo el sexto término se calcularía así:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

Razón de oro

Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea "φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...

De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. Probemos con algunos:

A B   B / A

2 3   1.5

3 5   1.666666666...

5 8   1.6

8 13   1.625

... ...   ...

144 233   1.618055556...

233 377   1.618025751...

... ...   ...

Usar la razón de oro para calcular números de Fibonacci

Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci usando la razón de oro:

Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los dos términos anteriores.

Ejemplo:

Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón aúrea) obtuve la respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto habría dado un valor más cercano a 8.

¡Prueba tú mismo!

¿Cuánto se gira?

Así que, si fueras una planta, ¿cuánto girarías entre células nuevas?

Si no giras nada, tienes una línea recta.

Pero es un mal diseño... quieres algo redondo que se mantenga junto sin huecos.

¿Por qué no intentas encontrar el mejor valor tú mismo?

Prueba distintos valores, como

0,75,

0,9,

3,1416,

0,62

etc,

Recuerda, ¡estás intentando encontrar un patrón sin huecos de principio a fin!

(Por cierto, no importa la parte entera del número, como 1. o 5. porque son vueltas completas que te ponen otra vez en la misma dirección.)

Esta animación necesita un Reproductor de Flash. Lee más abajo para saber cómo funciona la animación*

¿Qué has encontrado?

Si encontraste algo parecido a 0,618 (o 0,382, que es 1-0,618) entonces "¡Enhorabuena, eres un buen miembro del reino animal!"

Eso es porque la razón de oro (1,61803...) es la mejor solución a este problema, y el girasol lo sabe.

Prueba tú... debería parecerse a esto.

¿Por qué?

Porque si eliges un número que sea una fracción simple (ejemplo: 0,75 es 3/4, y 0,95 es 19/20, etc), acabarás teniendo un patrón de líneas que se juntan, y por tanto muchos huecos.

Pero la razón de oro (su símbolo es la letra griega Phi, a la izquierda) es un experto en no ser una fracción.

Es un número irracional (esto quiere decir que no lo puedes escribir en fracción), pero es más que eso... está tan lejos como se puede de ser una fracción.

Sólo ser irracional no basta

Pi (3,141592654...) es irracional.

Pero está muy cerca de 1/7 (= 0,142857...), así que acabamos con 7 brazos.

e (2,71828...) también es irracional, tampoco funciona porque está cerca de 5/7 (0,714285...), así que al final también tenemos 7 brazos.

Entonces, ¿cómo funciona la razón de oro?

Una de las propiedades especiales de la razón de oro es que se puede escribir en términos de sí misma, así:

  (con números: 1,61803... = 1 + 1/1,61803...)

Esto se puede escribir con una fracción que no acaba nunca (llamada una "fracción continua"):

Así que cae limpiamente entre fracciones.

Números de Fibonacci

Hay una relación especial entre la razón aúrea y los números de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... etc, cada número es la suma de los dos números delante de él).

Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón de oro:

A B   B / A

2 3   1,5

3 5   1,666666666...

5 8   1,6

8 13   1,625

13 21   1,615384615...

... ...   ...

144 233   1,618055556...

233 377   1,618025751...

... ...   ...

Así que, igual que salen siete brazos de manera natural cuando usas 0,142857 (1/7), suelen aparecer números de Fibonacci cuando usas la razón de oro.

Prueba a contar los brazos en espiral - las espirales "a izquierda", y después "a derecha"... ¿qué números salen?

Crecimiento en espiral

Este comportamiento tan interesante no sólo aparece en las semillas de girasol.

Hojas, ramas y pétalos también pueden crecer en espiral.

¿Por qué? Para que las hojas nuevas no bloqueen el sol a las hojas antiguas, o para que la mayor cantidad posible de lluvia llegue a las raíces.

De hecho, si una planta tiene espirales, la rotación tiende a ser una fracción hecha con dos números de Fibonacci consecutivos, por ejemplo:

Media rotación es 1/2 (1 y 2 son números de Fibonacci)

3/5 también es normal (los dos son números de Fibonacci), y

5/8 también (¡sí, lo has adivinado!)

todas se acercan más y más a la razón de oro.

Y por eso los números de Fibonacci son muy comunes en plantas. 1,2,3,5,8.13,21,... etc aparecen en un número increíble de sitios.

Aquí tienes una margarita con 21 pétalos

(pero

...